Варианты записи алгебраической суммы

[bssgrad]

Добрый день.
Стараюсь разобраться с вариантами записи алгебраической суммы с помощью греческой буквы сигма

$$\sum$$

.
Наиболее полное описание смог найти только в Википедии.
Хотел бы уточнить несколько моментов.

1) Во-первых, почему в приведенных ниже записях как тождественные в качестве индексов переменных используются как переменная индекса, так и ее верхняя граница:
(1)

$$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{n}$$

и
(2)

$$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}$$

Насколько это правильно?

2) Во-вторых, почему запись
(3)

$$\sum\limits_{x\in{S}}^{}f(x)$$

означает сумму $f(x)$ элементов $x$ множества $S$?

Насколько я понимаю, согласно Википедии выражение после буквы сигма обозначает каждый член в серии суммирования. Например, выражение (2) означает сумму всех членов $a_{i}$ заданного ряда, у каждого из которых отличаются значения переменной индекса $i$.
Но ведь в записи (3) $f$ - это тоже переменная, означающая определенную функцию, зависящую от переменной $x$. Тогда логично предположить, что выражение (3) означает сумму всех членов $f(x)$ заданного ряда числовых выражений, у каждого из которых отличаются значения переменной $x$, т.е., что

$$\sum\limits_{x\in{S}}^{}f(x)=f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+...$$

.
Однако, согласно Википедии:

$$\sum\limits_{x\in{S}}^{}f(x)=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...$$

.
Но ведь сумму $f(x)$ элементов $x$ множества $S$ можно записать и следующим образом:

$$f(x)=\sum\limits_{x\in{S}}^{}x$$

,
что, с моей точки зрения, было бы логичнее.

Очень прошу прояснить данные вопросы, т.к. по всей видимости мое личное мнение ошибочно. Возможно есть какая-нибудь литература, в которой не слишком сложно изложены правила использования алгебраической суммы?

[arseniiv]

bssgrad в сообщении #1246490 писал(а):

Насколько это правильно?

Нинасколько. Первая запись означает $na_n$.

bssgrad в сообщении #1246490 писал(а):

Однако, согласно Википедии:

$$\sum\limits_{x\in{S}}^{}f(x)=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...$$

Корректность этой записи зависит от того, что понимается под $x_i$. Может, это и есть всевозможные значения $f$ на элементах $S$ (хотя это было бы плохим выбором обозначений). Кроме того, приведите-ка ссылку, в какой конкретно статье Википедии это написано, чтобы проще было сравнивать.

[Xaositect]

(1) означает сумму $a_n + a_n + \dots + a_n$ ($n$ раз). Если она где-то используется для обозначения той же суммы, что и в (2), то это опечатка.
Не знаю, что написано в википедии (кстати, учить по википедии новые вещи - занятие сомнительное, это в лучшем случае справочник), но сумма $\sum\limits_{x\in S} f(x)$ действительно обозначает сумму $f(x_1) + f(x_2) + \dots$, где $x_1, x_2, \dots$ - это все элементы конечного множества $S$. В частности, $\sum\limits_{x\in S} x$ - это сумма всех элементов $S$.

Посмотрите "Конкретную математику", там есть раздел об обозначениях сумм.

[arseniiv]

Тоже только что собрался посоветовать. Начало раздела 2 — весьма развёрнутое описание нотации.

[bssgrad]

Спасибо, отличная книга, то, что нужно.

[Sinoid]

Xaositect в сообщении #1246498 писал(а):

но сумма $\sum\limits_{x\in S} f(x)$ действительно обозначает сумму $f(x_1) + f(x_2) + \dots$, где $x_1, x_2, \dots$ - это все элементы конечного множества $S$.

А всегда ли множество $S$ конечное?

[Aritaborian]

Sinoid в сообщении #1246548 писал(а):

А всегда ли множество $S$ конечное?

Зачем всегда? Можно счётное.

[Xaositect]

Sinoid в сообщении #1246548 писал(а):

А всегда ли множество $S$ конечное?

Нет, но топикстартеру для начала лучше думать только о конечных множествах.

[arseniiv]

Aritaborian в сообщении #1246549 писал(а):

Зачем всегда? Можно счётное.

Счётное уже нельзя без обращения к аппарату рядов. Пример: $\sum\mathbb N$. С другой стороны, можно любой мощности, если $S\setminus f^{-1}\{0\}$ конечно, и оно фактически и будет использоваться вместо $S$.

[Sinoid]

Aritaborian в сообщении #1246549 писал(а):

Зачем всегда? Можно счётное.

Ок. Счетное всегда конечное?

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #1246551 писал(а):

Sinoid в сообщении #1246548

писал(а):
А всегда ли множество $S$ конечное? Нет, но топикстартеру для начала лучше думать только о конечных множествах.

Да, да, это я не вам.

[Aritaborian]

Sinoid в сообщении #1246560 писал(а):

Счетное всегда конечное?

В смысле? Счётное значит счётное. Ну или «не более, чем счётное», если хотите. Впрочем, забейте. Всё равно arseniiv меня поправил.

[Sinoid]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #1246551 писал(а):

Нет, но топикстартеру для начала лучше думать только о конечных множествах.

Меня недавно убеждали, что с самого начала лучше думать глобально.

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #1246553 писал(а):

Счётное уже нельзя без обращения к аппарату рядов.

С др. стороны, мы здесь говорим лишь о формальных правилах обращения со значком суммы, аппарат рядов как таковой пока не нужен.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1246564 писал(а):

Меня недавно убеждали, что с самого начала лучше думать глобально.

Если только тем, кто не путается в смысле обозначений.

Aritaborian в сообщении #1246565 писал(а):

С др. стороны, мы здесь говорим лишь о формальных правилах обращения со значком суммы, аппарат рядов как таковой пока не нужен.

Ну, если говорить о каких-то совсем общих идеях типа связанных переменных, то да, а если попытаться дать определения (и смысл), то уже или ряды, или конечные.