Неравенство с экспонентами

[stiv1995]

Добрый день,

при доказательстве факта, что хи-квадрат распределение является субэкспоненциальным возникает следующее неравенство

$\frac{e^{-s}}{\sqrt{1-2s}} \le \exp (\frac{s^2}{1-2s}), s < 1/2$

как можно доказать такое неравенство?

Спасибо!

[lel0lel]

Попробуйте изложить свои мысли или попытки решения, может быть Вы близки к цели.

[stiv1995]

Ну можно взять логарифмы от обеих частей

$-x - \frac{1}{2} \ln(1-2x) \le \frac{x^2}{1-2x}$

Теперь разложить обе части в ряд Тейлора и должно получиться верное неравенство внутри радиуса сходимости.

Может быть есть способ сделать это элегантнее?

[lel0lel]

я бы начал с замены $x=1-2 s$ и собрал бы экспоненты, затем исследование функций.