Уравнение в целых числах.

[PWT]

$x(x^2+x+1)=4y(y+1)$

Добрый вечер! Возникли проблемки с таким уравнением. Вижу два решения сразу $(0;0)$ и $(0;-1)$. Другие найти не получается, но и доказать -- что их нет -- тоже (если это так).

Мысли такие: Правая часть делится на 8, потому и левая делится на 8. Отсюда вывод -- $x$ -- четное (иначе была бы левая часть -- нечетная, что невозможно). Более того -- $x$ делится на $8$. Подставил 8. Получилось, что $y$ не может быть целым, отсюда икс не восемь. Но дальше идей нет пока что. Помогите, пожалуйста, разобраться.

[provincialka]

Такие уравнения надо либо знать, либо долго над ними думать... Впрочем, это -- какое-то знакомое. Так и хочется прибавить 1 к обеим частям равенства...

[lel0lel]

Это должно войти в привычку: есть квадратное уравнение - ищи дискриминант. А оно в Вашем случае есть. Затем разложите дискриминант на сомножители и докажите, что он не есть полный квадрат (кроме нескольких случаев).

[PWT]

provincialka в сообщении #1245475 писал(а):

Такие уравнения надо либо знать, либо долго над ними думать... Впрочем, это -- какое-то знакомое. Так и хочется прибавить 1 к обеим частям равенства...

Спасибо! Если прибавить 1, то получится $x^3+x^2+x+1=(y+2)^2$ или $\dfrac{1-x^4}{1-x}=(2y+1)^2$ или $(1+x)(1+x^2)=(2y+1)^2$

Из последнего следует, что $x\ge -1$, пока что других идей нет.

-- 06.09.2017, 02:24 --

lel0lel в сообщении #1245489 писал(а):

Это должно войти в привычку: есть квадратное уравнение - ищи дискриминант. А оно в Вашем случае есть. Затем разложите дискриминант на сомножители и докажите, что он не есть полный квадрат (кроме нескольких случаев).

Дискриминант кубического уравнения? Там ведь кубическое относительно $x$

[Andrey A]

PWT в сообщении #1245491 писал(а):

$(1+x)(1+x^2)=(2y+1)^2$

Если множители левой части взаимно просты, то в скобочках $\pm $ целые квадраты. Такое предположение ведет к тривиальным решениям

PWT в сообщении #1245471 писал(а):

$(0;0)$ и $(0;-1)$

Предположим теперь, что множители имеют общий делитель $m>1$. Если $x+1$ делится на $m$, то $(x+1)(x-1)=x^2-1$ тоже делится на $m$.
На какое $m$ могут делиться одновременно $x^2+1$ и $x^2-1$?

[VAL]

PWT в сообщении #1245491 писал(а):

Если прибавить 1, то получится $x^3+x^2+x+1=(2y+1)^2$ или $\dfrac{1-x^4}{1-x}=(2y+1)^2$ или $(1+x)(1+x^2)=(2y+1)^2$

Из последнего сразу следует, что каждый из сомножителей в левой части является квадратом. Докажите. А дальше - просто.

PS: Исправил очепятку в Вашей формуле.

[PWT]

Спасибо, понял идею (соседние числа не могут быть квадратами, если это не ноль и сосед). Но не понял как доказать взаимную простоту скобочек.

[VAL]

PWT в сообщении #1245560 писал(а):

Спасибо, понял идею (соседние числа не могут быть квадратами, если это не ноль и сосед). Но не понял как доказать взаимную простоту скобочек.

Найдите НОД $x^2+1$ и $x+1$ по Евклиду и воспользуйтесь тем, что $x$ - нечетное.