Конечная арифметическая прогрессия

[vmh]

Добрый день.
Ниже приводится утверждение и его доказательство. Прошу вас указать на ошибку в доказательстве (если она есть), привести контрпример или, может быть, указать на другой способ доказательства.

Утверждение
Конечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел (с числом членов $>2$ и разностью прогрессии натуральным числом $d>0$) не может состоять из членов вида $x^k$, где $x$ и $k$ - натуральные числа, и $k>1$.

Доказательство
Арифметическая прогрессия представляет собой линейную зависимость, поэтому её график на координатной плоскости - прямая. График функции $x^k$ на интервале $(0;+\infty)$ - выпуклая кривая. Выпуклая кривая и прямая могут иметь не более двух точек пересечения, следовательно исходное предположение верно.

Иллюстрация для примера.

[arseniiv]

Никто не говорил, что $k$ должно быть пропорционально номеру члена прогрессии, потому в текущем виде аргумент о пересечении кривых не в кассу.

[Booker48]

1, 25, 49

[vmh]

Спасибо за объяснение и контрпример. А если взять показатель степени выше 2 и/или число членов прогрессии больше 3? Мне кажется очевидным, что с какого-то момента построить прогрессию не удастся. Может быть подскажете, куда копать (я имею ввиду, как найти верные параметры (степень, число членов прогрессии) и доказать утверждение)?

[tolstopuz]

https://math.stackexchange.com/question ... ect-powers

[arseniiv]

Если правильно понял, основания степеней у vmh все одинаковые. Хотя из его формулировки это вычитать, оказывается, нельзя — только из предложенного доказательства.