Прошу помочь решить уравнение по "модульной арифметике"

[remok]

Прошу помочь решить уравнение по "модульной арифметике"
$9b=-43(mod10)$
Ответ известен - 3
Как он получен ?

[Munin]

Ответ неверен.

[Null]

Это дефис :)

[Munin]

И всё равно, неверен.

[kotenok gav]

Почему неверен?

[iifat]

remok в сообщении #1244225 писал(а):

Как он получен ?

Например, перебором.
Например, можно переписать в виде $9b-10a=-43$ и решить с помощью расширенного алгоритма Евклида.
Наконец, можно переписать в виде системы по модулям 2 и 5, а из решения последней высчитать необходимое.

[remok]

Первоначально уравнение записано так
(1) $5 = (6\cdot8+9\cdot b)(\mod 10) $ подозреваю, что это опечатка, должно быть
(1а) $5 = 6\cdot8+9\cdot b(\mod 10) $ которое соответствует
(2) $9\cdot b=-43(\mod 10)$
Далее указано, решением является;$ b = 3$
Действительно, 3 это решение уравнение (1а)
Как оно получено не понимаю.
iifat ,Будьте добры, подскажите , где посмотреть, как решаются такие уравнения !

[ex-math]

Смотрите Бухштаб "Теория чисел".

[Munin]

kotenok gav в сообщении #1244237 писал(а):

Почему неверен?

Потому что неполон. Решение уравнения - это список всех корней.

[SomePupil]

Соотношение $9 \equiv -1$ упрощает дело.

Munin в сообщении #1244267 писал(а):

Решение уравнения - это список всех корней.

Вы подразумеваете список чисел? Просто в вычетах корень единствен.

[Munin]

SomePupil в сообщении #1244286 писал(а):

Просто в вычетах корень единствен.

С этим не спорю, но ответ был представлен, как если бы он был в целых числах.

Как правильно записывать ответ в вычетах:

3 по модулю 10
$b=3\pmod{10}$
$b\equiv 3\pmod{10}$
$b=\overline{3}$ или как-то так, если договорились об обозначениях вычетов.

В целых числах $b=3+10k,\quad k\in\mathbb{Z}$ (или все предыдущие варианты, кроме $b=\overline{3}$).

[arseniiv]

Честно говоря, весьма часто удобно считать, что $\mathbb Z_n$ есть ровно $0\mathbin{..}n-1\subset\mathbb Z$.

[Munin]

Ну, это только в смысле хранения числа в компьютере или где-то ещё (в голове при устном счёте). А так, жизненно необходимо понимать, что элементы $\mathbb{Z}_n$ принципиально не лежат в $\mathbb{Z},$ а например, естественно сопоставляются подмножествам $\mathbb{Z}$ вида

$\{k+mn\mid k,m\in\mathbb{Z}\}.$

Если уж говорить о кольце, элементы которого лежат в $\mathbb{Z},$ то это, например, $n\mathbb{Z}.$ Его элементы имеют вид $mn\mid k,m\in\mathbb{Z},$ и лежат и там и там, ибо $n\mathbb{Z}$ - подкольцо.

[arseniiv]

Ладно, ладно, будем понимать мои $0..n-1$ как скоропись $\{\overline0,\ldots,\overline{n-1}\}$ (вынужден обратиться к явной записи со скобками из-за отсутствия линейного порядка), в свою очередь тоже зависящими от контекста, потому что по $\bar0$ не поймёшь, $\{0 + 2n : n\in\mathbb Z\}$ это или $\{0 + 14142n : n\in\mathbb Z\}$.