Упростить выражение из гипергеом. функций

[van341]

Подскажите, пожалуйста, возможное упрощения выражения
$x\cdot F\big(1,n+2,n+3,-x\big)-y\cdot F\big(1,n+2,n+3,-y\big)$.

[Aritaborian]

Насколько мне известно, просто буквой $F$ такие функции не обозначаются, там ещё индексы должны свисать по бокам, иначе можно и перепутать, что к чему.

[NDP]

van341
Но ведь ничего интересного не получится. Достаточно аккуратно, по определению ГГФ, посчитать каждое слагаемое. Сумма ряда, но вполне считаемая. Упростить коэффициенты - продифференцировать по параметру, и все такое. Будет, навскидку, некоторый многочлен и логарифмический добавок. Вроде так.
Сама по себе разность, как таковая, неупрощаема.

[van341]

Получился некоторый промежуточный результат $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{n+k+1}\big(y^k-x^k\big)$ ($n\in[0;N]$, где $N$ -целое). Что-то похоже на $ln(1+x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}$. Кто-нибудь знает какой логарифмической функцией представить этот ряд?

[ewert]

Как для игреков, так и для иксов это -- логарифм минус многочлен, делённое на степень. (многочлен -- это, естественно, соответствующая частичная сумма ряда Тейлора)

[van341]

ewert
$-\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}x^k}{k+n+1}=\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}\Big[\ln(x+1)+\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{(-1)^kx^k}{k}\Big]$. Спасибо.