произведение степенных рядов

[Markiyan Hirnyk]

Положим $f(x):=\sum\limits_{n=0}^\infty A_n x^n,$ тогда
$\sum\limits_{n=0}^ \infty A_n (ax+b)^n=f(ax+b)$ в предположении ненулевого радиуса сходимости. Требуется найти ряд Маклорена функции $f(x) f(ax+b).$ По известной формуле $n-$ый коэффициент разложения Маклорена $f(x) f(ax+b)$ равен значению производной порядка $n$ от $f(x) f(ax+b)$ в точке $x=0,$ деленной на $n!$ . По формуле Лейбница это $\frac {1}{n!} \sum_{k=0}^{k=n}C_n^k f(x)^{(k)} |_{x=0}f(ax+b)^{(n-k)}|_{x=0}.$ На этом месте сегодня заканчиваю, т. к. у меня на часах уже после полуночи.

[NDP]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1243572 писал(а):

По известной формуле $n-$ый коэффициент разложения Маклорена $f(x) f(ax+b)$ равен значению производной порядка $n$ от $f(x) f(ax+b)$ в точке $x=0,$ деленной на $n!$ . По формуле Лейбница
это $\frac {1}{n!} \sum_{k=0}^{k=n}C_n^k f(x)^{(k)} |_{x=0}f(ax+b)^{(n-k)}|_{x=0}.$

Что в обозначениях post1243452.html#p1243452, где $f(x)=\sum A_jx^j, \ f(ax+b)=\sum B_jx^j$, равно $\sum_{k=0}^{n}A_k B_{n-k}$. Именно так и выглядит коэффициент при $x^n$ произведения указанных рядов в самом общем виде. Все правильно, но ничего нового.

[Markiyan Hirnyk]

Продолжаю. Используя формулу для коэффициентов ряда Маклорена, получаем
$B_n=\frac {1} {n!} \sum_{k=0}^{k=n}C_n^k A_kk!a^{n-k}f(y)^{(n-k)}|_{y=b}=$

$ \frac {1} {n!} \sum_{k=0}^{k=n} C_n^k A_k k! a^{n-k}\sum\limits_{j=n-k}^{\infty} A_j j (j-1)\cdots (j-n+k+1) b^{j-n+k}.$
Не вижу возможности дальнейшего упрощения формулы для $B_n.$