Минимальный многочлен для модуля комплексного корня урав-ния

[Сергей Маркелов]

Возьмем многочлен

$x^4 + x^3 + 3\,x^2 + x + 1 = 0$

У него 0 действительных корней и 4 комплексных. Если взять модуль от каждого из 4 комплексных чисел, то у нас будут 2 разных действительных числа-модуля. Мне для некоторой цели нужно было посчитать минимальный многочлен с рациональными коэффициентами для этих 2 модулей (он один и тот же). Повозившись, нашел его. К некоторому удивлению обнаружил, что минимальный многочлен для модулей подозрительно похож на исходный:

$x^8 - x^6 - 3\,x^4 - x^2 + 1 = 0$

Является ли это сходство коэффициентов случайным, или у него есть какая-то причина? Можно ли было как-то установить похожесть и найти минимальный многочлен для модулей без больших вычислений? Спасибо.

Для справки, 4 корни исходного уравнения таковы:

$\frac{1}{4}\left(-1+i\sqrt {3}+\sqrt {-18-2\,i\sqrt {3}}\,\right)$
$\frac{1}{4}\left(-1-i\sqrt {3}+\sqrt {-18+2\,i\sqrt {3}}\,\right)$
$\frac{1}{4}\left(-1+i\sqrt {3}-\sqrt {-18-2\,i\sqrt {3}}\,\right)$
$\frac{1}{4}\left(-1-i\sqrt {3}-\sqrt {-18+2\,i\sqrt {3}}\,\right)$


Модуль первого и второго корня равен

$\frac{1}{2} \sqrt{1 + \sqrt{21} - \sqrt{6+2\sqrt{21}}}$

Модуль третьего и четвертого корня равен

$\frac{1}{2} \sqrt{1 + \sqrt{21} + \sqrt{6+2\sqrt{21}}}$

[iifat]

Ну, можно попробовать так.
Есть у нас многочлен с (комплексными) корнями $z_1,z_2=\bar{z_1},z_3,z_4=\bar{z_3}$. Мы хотим построить многочлен с одним из корней $z_1z_2$, потом можно будет подставить $x^2$ вместо $x$. Из соображений симметрии, корнями будут произведения различных корней. Например, свободным членом будет $\prod_{i\ne j}x_ix_j=\left(\prod_{i=1}^4x_i\right)^3$, если не напутал, то бишь, куб нашего свободного члена, а поскольку в нашем частном случае свободный член единица, то попросту совпадает. Видно также, что для других значений такого совпадения не будет. Подозреваю, что и с остальными коэффициентами та же история.