Дифференциальное уравнение (2x dx-dy/cos^2y=0)

[Кольчик]

Вот уравнение:
$2xdx-\frac {dy}{cos^{2}y}=0$
Вот решал и пришел в тупик:
$2xdx=\frac {dy}{cos^{2}y}$
$x^{2}+C=tg(y)$
А вот как вывести y, есть мысли добавив $arctg$ а вот куда

[Мироника]

найдите $arctg$ от обеих частей равенства и $y$ выразится.

[Кольчик]

У меня два варианта: $arctg(x^{2}+C)=arctg(tg(y))$-тут незнаю как вывести $y$, а вот так $arctg(x^{2}+C)=tg(arctg(y))$-$y$ легко выражается.

Добавлено спустя 9 минут 30 секунд:

То есть $x^{2}+C=tg(y) => arctg(x^{2}+C)=y$???

[Мироника]

да

[Кольчик]

Спасибо за помощь!

[Someone]

Если $\tg\alpha=\tg\beta$, то $\alpha=\beta+\pi n$, $n\in\mathbb Z$.

[Алексей К.]

... что означает, что вывод

Кольчик писал(а):

То есть $x^{2}+C=tg(y) => arctg(x^{2}+C)=y$???

неточен: $y=\arctg(x^{2}+C)+n\pi$.

Кольчик писал(а):

$x^{2}+C=tg(y)$
А вот как вывести y, есть мысли добавив $arctg$ а вот куда

Вы здесь просто должны вспомнить, как решается уравнение $\tg y = \mbox{чему-то}$.

[Мироника]

Алексей К. писал(а):

неточен: $y=\arctg(x^{2}+C)+n\pi$

По-моему, именно здесь $+n\pi$ можно опустить. Во всяком случае в учебном пособии Данко, Попов "Высшая математика в упражнениях и задачах" есть подобный пример

[Someone]

Мироника писал(а):

Алексей К. писал(а):

неточен: $y=\arctg(x^{2}+C)+n\pi$

По-моему, именно здесь $+n\pi$ можно опустить.

Поскольку $-\frac{\pi}2<\arctg(x^2+C)<\frac{\pi}2$, то без $+\pi n$ Вы не получите решения, в которых $y<-\frac{\pi}2$ или $y>\frac{\pi}2$.

Мироника писал(а):

Во всяком случае в учебном пособии Данко, Попов "Высшая математика в упражнениях и задачах" есть подобный пример

За П.Е.Данко и А.Г.Попова (а также Т.Я.Кожевникову) никоим образом не отвечаю.

[Алексей К.]

Мироника писал(а):

По-моему, именно здесь $+n\pi$ можно опустить.

Мироника, я бы Вам посоветовал аккуратнее относиться к такого рода утверждениям. Многие в математике видят набор каких-то правил, рецептов (догм?), всю совокупность которых и запомнить-то невозможно, а некоторые приложимы только к конкретному классу задач.

(1) "Можно умножить правую и левую часть этого уравнения на -1."
(2) "Без ограничения общности, можно считать, что функция возрастает".
(3) "Можно положить постоянную интегрирования равной нулю".

В математике всякое такое "можно" обосновывается. Просто приведённое мной "Можно N1" настолько часто встречается и всегда так легко обосновывается, что его можно зачислить в молчаливые догмы. "Можно N3" потребовало бы уточнения, например, "В данном случае можно положить постоянную интегрирования равной нулю, тем самым мы просто включаем предысторию рассматриваемого движения."
Т.е. опирайтесь не на то, что "я видела похожий пример" (это подход в стиле "как бы спихнуть экзамен"), а проведите рассуждение --- "потеряю ли я что-либо от этого? не является ли эта поправка излишней, как было бы, например, в случае $\ln |Cx| +2\pi n$?" (а это подход в стиле "хочу всё знать-понимать").

Я отметил этот нюанс (часто встречающийся --- чесать репку в поисках подходящего примера или догмы),
а) поскольку заметил Ваш явный интерес к этой науке;
б) поскольку желаю Вам дальнейших успехов. И Вам, Кольчик, тоже.

[redmonstr]

исходя из опридиления arctg{x} никакого +$\pi$n быть не может

[Алексей К.]

А я ни исхажу нииc какова опридиления я проста увидил шо рибята ришают уравнению

Кольчик писал(а):

$x^{2}+C=tg(y)$

и атписал шо я об етом думаю. Какое такое тут опридиление? Или $x=\pm\sqrt{\tg y - C}$, или $y=\arctan(x^{2}+C)+\pi n$. Но вроде как второе ищут... Bonne nuit...

[Мироника]

Алексей К.
Спасибо за Ваши замечания и пожелания. Вы, конечно, правы на все сто. Надо быть аккуратнее. Просто так привыкла и ни один препод замечания не делал (может ленились). Меня раньше уже интересовал вопрос по поводу периода, но встречая в учебниках примеры, в которых период опускают, я и расслабилась. А зря!
P.S. А еще и с чувством юмора у Вас полный порядок