Невырожденность матрицы, построенной из комплексной

[Arastas]

Добрый день!
Возникла такая задача. Пусть есть матрица с комплексными элементами $H \in \mathbb{C}^{2n \times n}$. Из этой матрицы строится квадратная $2n \times 2n$ матрица с действительными элементами вида

$$A=\begin{bmatrix}\operatorname{Re}\{H\} & \operatorname{Im}\{H\}\end{bmatrix}.$$

Вопрос - при каких условиях на матрицу $H$ можно утверждать, что матрица $A$ не вырождена?


Наброски решения. Допустим матрица $A​$ вырождена. Тогда существует вектор $\lambda\in\mathbb{R}^{2n}​$, $\lambda\ne 0​$, такой что $\lambda^\top A = 0​$. Запишем

$$\lambda^\top A = \lambda^\top \begin{bmatrix}\operatorname{Re}\{H\} & \operatorname{Im}\{H\}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda^\top\operatorname{Re}\{H\} & \lambda^\top\operatorname{Im}\{H\}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\operatorname{Re}\{\lambda^\top H\} & \operatorname{Im}\{\lambda^\top H\}\end{bmatrix}=0.$$

Это возможно только если $\lambda^\top H = 0​$.

Пусть $v^{(j)}\in \mathbb{C}^{2n}$ это $j$-ый столбец матрицы $H$. Обозначим $i$-ый элемент как

$$h_{i,j}=v^{(j)}_i = L_{i,j} \exp(\mathrm{i}\varphi_{i,j}),$$

где $L$ и $\varphi$ это, соответственно, модуль и аргумент комплексного числа, $\mathrm{i}$ -- мнимая единица. Из $\lambda^\top H = 0$ следует что $\lambda^\top v^{(j)} = 0$ для всех $j$. Вот в этот момента мне кажется, что так как $\lambda$ состоит из действительных элементов, то можно найти ответ в виде каких-то условий на фазы $\varphi_{i,j}$, так как они не изменяются при умножении на $\lambda$.

А может это вообще что-то широко известное, и можно просто куда-то сослаться?