Задача на классическое определение вероятности

[Samir]

Задумался о такой задаче, которая вышла из повседневной жизни.

Если взять случайную группу из $k=20$ человек, то какова вероятность того, что у всех людей последние 2 цифры номера мобильного телефона будут различные? Считаем, что номер телефона - это семизначное число. С нуля начинаться не может.

Решаю следующим образом:

Элементарное событие: $k$ случайных различных номеров телефонов.
$A$ - искомое событие, вероятность которого хочу найти.

$$P(A)= \frac {|A|} {|\Omega|} = \frac {C_{100}^k (n / 100)^k} {C_n^k}$$

, где $n=9 \cdot 10^6$

Если подставить $k=20$, то получаю весьма неожиданный для меня результат: $P(A) \approx 0.13$

Неужели вероятность в самом деле такая маленькая или у меня что-то неверно в решении?

И еще такой вопрос. Возможно ли в подобного рода задачах избежать громоздких вычислений с факториалами, степенями и биномиальными коэффициентами?
Спасибо!

[Someone]

Подсказка № 1: роль играют только две последние цифры номера, а про остальные можете забыть.
Подсказка № 2: (две последние) цифры в номерах телефонов можно считать независимыми.
Подсказка № 3: при решении можно использовать формулу вероятности произведения зависимых событий.

-- Чт авг 24, 2017 23:14:50 --

Подсказка № 4: проще действительно воспользоваться классическим определением вероятности, но надо правильно подсчитать число всех элементарных исходов и число благоприятных исходов.

[faruk]

Samir в сообщении #1242810 писал(а):

Неужели вероятность в самом деле такая маленькая или у меня что-то неверно в решении?

См. "Парадокс дней рождения".

[Samir]

Всем спасибо! В самом деле, как-то сразу не сообразил, что это просто-напросто вариация задачи о днях рождения. Несмотря на то, что мой вариант решения через подсчет кол-ва сочетаний более громоздкий в плане вычислений, тем не менее он тоже оказался верным, судя по сравнениям результатов подсчета.

Цитата:

Подсказка № 1: роль играют только две последние цифры номера, а про остальные можете забыть.

Вот здесь бы хотел возразить. Они роль играют, хоть и крайне малую. Если их отбросить, то получается, что элементарное событие, которое заключается в том, что у всех людей в группе номера телефонов оканчиваются на "11" должно быть равновероятно произвольному элементарному событию, при котором у всех людей номера телефонов различны. Хотя на самом деле эти события не равновероятны, потому что мы считаем, что полные номера телефонов не могут быть одинаковыми для разных людей. Но это, оказывается, очень мелкая деталь, которая изменяет искомую вероятность для $k = 20$ только где-то на $0.0001$

Еще раз спасибо!

[Someone]

Samir в сообщении #1243174 писал(а):

Если их отбросить, то получается, что элементарное событие, которое заключается в том, что у всех людей в группе номера телефонов оканчиваются на "11" должно быть равновероятно произвольному элементарному событию, при котором у всех людей номера телефонов различны.

Совершенно невразумительная фраза. Какая-то ерунда написана. Уточните формулировку и подсчитайте вероятности.

Samir в сообщении #1243174 писал(а):

Хотя на самом деле эти события не равновероятны, потому что мы считаем, что полные номера телефонов не могут быть одинаковыми для разных людей.

Докажите это вычислением.

Samir в сообщении #1243174 писал(а):

Несмотря на то, что мой вариант решения через подсчет кол-ва сочетаний более громоздкий в плане вычислений, тем не менее он тоже оказался верным, судя по сравнениям результатов подсчета.

Нет, результат неверный. Хотя очень близкий к правильному: $0{,}13040225472988960975$ по вашей формуле и $0{,}13039950182047124511$ по правильной. Причина такой близости — очень большая величина $n=9\cdot 10^6$ по сравнению с $k=20$, благодаря чему величина $C_n^k/(n/100)^k$ близка к правильному значению $100^k$.

[Samir]

Цитата:

Совершенно невразумительная фраза. Какая-то ерунда написана. Уточните формулировку и подсчитайте вероятности.

Извините за невнятное изложение.
Уточняю формулировку задачи: номера телефонов у разных людей совпасть не могут.

Цитата:

Докажите это вычислением.

Предположим, что роль играют только последние 2 цифры номера.
Следовательно, за элементарное событие мы принимаем выпадение набора (пусть упорядоченного) из $k=20$ элементов, элементы которого - последние 2 цифры номера.
Выберем 2 элементарных события из этого нами построенного $\Omega$ и вычислим их вероятности исходя из постановки задачи, о том, что номера семизначные и они не могут совпасть для разных абонентов.

Элементарное событие $A$ - выпадение следующего набора: $11, 12, ..., 30$
Элементарное событие $B$ - выпадение такого набора: $11, 11, ..., 11$

$$P(A) = \frac {1} {100^k}$$

Для подсчета вероятности события B введем дополнительные события: $B_1, B_2, ..., B_k$, означающие вероятности выпадения двух единиц на конце для 1-го, 2-го, ..., k-го элемента набора.

Тогда получаем следующее:

$$P(B) = P(B_1 \cap ... \cap B_k) = P(B_1 | B_2 \cap ... \cap B_k)P(B_2 \cap ... \cap B_k) = \frac {1} {100^k} \frac {(n/100 - (k-1)) \cdot ... \cdot (n/100 - 1)} {(n / 100)^k}$$

$$P(A) \neq P(B)$$

Следовательно, они не являются равновозможными.

[mihaild]

Samir в сообщении #1243310 писал(а):

$P(A) = \frac {1} {100^k}$

Неверно. Уже для $k = 2$ - вероятность того, что номер второго заканчивается на $12$ при условии, что номер первого заканчивается на $11$, больше $\frac{1}{100}$.

Someone, распределение наборов последних цифр действительно зависит от длины номера (например, если людей больше чем $9\cdot 10^6 - 100$, то каждая пара цифр гарантированно встретится хотя бы один раз).

[Someone]

Samir в сообщении #1243310 писал(а):

Уточняю формулировку задачи: номера телефонов у разных людей совпасть не могут.

Да. Я это и имел в виду. Я в другом месте ошибся: почему-то считал количество различных номеров бесконечным. Наверное, потому, что подразумевал задачу о днях рождения. Но Вы всё-таки что-то очень странное написали.

Samir в сообщении #1243174 писал(а):

получается, что элементарное событие, которое заключается в том, что у всех людей в группе номера телефонов оканчиваются на "11" должно быть равновероятно произвольному элементарному событию, при котором у всех людей номера телефонов различны.

Поскольку по условию все номера различны, то второе из упомянутых Вами событий имеет вероятность $1$.

Samir в сообщении #1242810 писал(а):

$$P(A)= \frac {|A|} {|\Omega|} = \frac {C_{100}^k (n / 100)^k} {C_n^k}$$

Да, это правильный результат.

Удобнее рассматривать упорядоченные выборки. Тогда число всех элементарных исходов равно

$$\lvert\Omega\rvert=A_n^k=\prod_{i=1}^k(n-i+1)$$

($A_n^k$ — число размещений из $n$ по $k$), число благоприятных —

$$\lvert A\rvert=\prod_{i=1}^k\left(n-\frac n{100}\cdot(i-1)\right),$$

а искомая вероятность —

$$\mathbf{P}(A)=\prod_{i=1}^k\frac{1-\frac{i-1}{100}}{1-\frac{i-1}n}\approx 0{,}13040225472988960975.$$

mihaild в сообщении #1243316 писал(а):

распределение наборов последних цифр действительно зависит от длины номера

Согласен.

[gris]

Осторожно скажу, что совпасть могут даже городские (московские) номера. Отличаться они могут префиксом: 499 и 495. А уж у мобильных операторов совпадений может быть несколько. Ну если уж ковыряться

[Someone]

(Оффтоп)

Ну, это же не реальная задача, а учебная. С неявными предположениями и идеализированными условиями.

[Samir]

Цитата:

Неверно. Уже для $k = 2$ - вероятность того, что номер второго заканчивается на $12$ при условии, что номер первого заканчивается на $11$, больше $\frac{1}{100}$.

Ой, да. В самом деле. Для $k = 2$ имеем:

$$P(A)=\frac {n} {100^2 (n-1)}$$

$$P(B)=\frac {n-100} {100^2 (n-1)}$$

Someone, спасибо Вам за ценные замечания и за предложенный вариант решения через подсчет числа размещений!
Всем большое спасибо!