Есть ли полюса ?

[GlazkovD]

Исследую функцию

$$\frac {sinZ} {z^2 (z+i) }$$

Она имеет особые точки 0 и -i
при стремлении к -i функция стремится к бесконечности.
Значит -i полюс. Причем первого порядка

При стремлении к нулю получается

$$1- \infty i$$

Интересно, это будет полюс второго порядка или что то другое ?

[Someone]

GlazkovD писал(а):

При стремлении к нулю получается

$$1- \infty i$$

Странный какой-то результат. Разве на комплексной сфере есть точка $1-\infty i$, чтобы к ней могло что-нибудь "стремиться"? Там, помимо комплексных чисел, есть только один (бесконечный) элемент - $\infty$.

[Профессор Снэйп]

В нуле --- полюс первого порядка. Для доказательства воспользуйтесь первым замечательным пределом либо формулой

$$ \sin z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k z^{2k+1}}{(2k+1)!} $$

[GlazkovD]

Спасибо большое. Врубился
Не понимал немного понятия бесконечность.


MathCAD дает ответ что предел не существует, однако, похоже он много где ошибается.



Тогда видно что модуль стремится к бесконечности, т.е вот и получается что полюс.

При стремлении к 0 предел равен бесконечности, достаточное условие для полюса.

[Алексей К.]

GlazkovD писал(а):

Интересно, это будет полюс второго порядка или что то другое ?

$\dfrac {\sin z} {z^2 (z+i) }=\underbrace{\dfrac {\sin z} {z}}_{1 \mbox{~или~}\sinh 1}\cdot \dfrac {1} {z+0 }\cdot\dfrac {1} {z+i }$.

В таком виде первый сомножитель беспроблемный, с третьим Вы легко разобралиcь, а чем второй хуже третьего? То же самое.

PS. Оттачивайте мастерство ---

$\sin z$
 !   !  (наклонную палку и пробел не забывайте; \sin,\cos,\sinh,\arcsin и пр. --- команды LaTeXa)

[AD]

GlazkovD писал(а):

MathCAD дает ответ что предел не существует, однако, похоже он много где ошибается.

Маткад прав. Предела не существует. Вы посчитали предел только как бы при $x\to+0$, но $x$ может стремиться к нулю с целого круга направлений. Даже для вещественной функции $f(x)=1/x$ предела в нуле не существует. Вообще, правильнее сказать так: функция в нуле расходится к бесконечности

[ewert]

нет, она к бесконечности (к бесконечно удалённой точке на расширенной комплексной плоскости) именно сходится. Возможно, что Маткад этого просто не знает.

[id]

Maple, кстати, тоже пишет undefined.
Хотя полюс точно есть.

[Brukvalub]

AD в сообщении #101968 писал(а):

Вообще, правильнее сказать так: функция в нуле расходится к бесконечности

Вообще, правильнее сказать так: функция в нуле стремится к бесконечности, является бесконечно большой, и т.п. А расходятся обычно ряды и интегралы.

[mkot]

id писал(а):

Maple, кстати, тоже пишет undefined.
Хотя полюс точно есть.

Чтобы Maple так не писал, нужно ему указать, что предел должен рассматриваться
в комплексной области:

limit(sin(z)/(z^2*(z+I)), z=0, complex);

[id]

mkot
Спасибо, теперь он пишет что-то более разумное - $-\infty - i\infty$.