пределы функций

[Nephi]

Ребята, подскажите, пожалуйста, как посчитать пределы:

$$\lim_{x\rightarrow 1,y\rightarrow 0}\frac{xy}{\sqrt{x^2-y^2}\sqrt{x^2-1}};$$

$$\lim_{x\rightarrow 1}x\ln\frac{x+1}{x-1}.$$

[PAV]

Во втором нет никакой неопределенности. Только нужно отметить, что $x$ должен стремиться к 1 справа, иначе дробь может быть отрицательной и выходит из области определения логарифма.

А первый задан некорректно. В том смысле, что может получаться разный ответ в зависимости от того, как $x$ и $y$ стремяться к своим пределам.

[Nephi]

Хм...
то есть вы хотите сказать, что если я во втором пределе (1+1)/(1-1) получу бесконечность, то логарифм бесконечности есть конечное число?

[Мироника]

Nephi писал(а):

логарифм бесконечности есть конечное число?

Нет, конечно. А почему Вас смущает, что предел будет бесконечности равен?

[PAV]

Нет, не конечное число. Посмотрите на график логарифма и ответьте на вопрос, как ведет себя логарифм, когда его аргумент стремится к $+\infty$.

[Nephi]

А, вот это мне и нужно было услышать для подтверждения своих измышлений. Просто в задаче, которую я сейчас решаю, важно знать, при данном предельном переходе конечная или бесконечная величина получается.
Прошу прощения за некорректную постановку.
Но больше меня конечно интересует конечный или бесконечный первый предел

[Someone]

Первый предел не существует.

Указание. Полезно вспомнить определение предела по Гейне и то, что оно эквивалентно определению предела по Коши. И показать, что предел по Гейне не существует.

[Nephi]

Хорошо, а такой предел:
lim_{x\rightarrow 1}\frac{xy}{\sqrt{x^2-y^2}\sqrt{x^2-1}}
существует?
он равен бесконечности?

[Brukvalub]

Nephi писал(а):

Хорошо, а такой предел:
lim_{x\rightarrow 1}\frac{xy}{\sqrt{x^2-y^2}\sqrt{x^2-1}}
существует?

Это вообще не предел в точке, а непонятно где предел:shock:

[antbez]

Тут же функция 2 переменных! Как Вы рассматриваете y? Как параметр?

[Nephi]

да, у - параметр, причем x>y

[PAV]

Если $y$ - фиксированный параметр, то опять-таки здесь нет неопределенности и ситуация такая же, как во втором примере.

[Nephi]

Ок, снова получаем что предел равен бесконечности
Спасибо.