Не-делимость на 49

[Ktina]

Доказать, что $5n^2+6n-1$ не делится на 49 ни при каком целом значении аргумента.

[maxal]

Можно тупо перебрать все вычеты по модулю 49 и убедиться, что делимости нет. Неинтересно.

[Ktina]

maxal в сообщении #1242286 писал(а):

Можно тупо перебрать все вычеты по модулю 49 и убедиться, что делимости нет. Неинтересно.

А зачем перебирать тупо, если можно не тупо? Задача-то олимпиадная.

[maxal]

Можно и не тупо, но зачем? Если нужно установить некий результат, то любые средства хороши (в том числе и перебор). Если это делается в лоб, то задача безидейная, потому что пропадает смысл искать скрытую в ней идею (даже если она там есть).

[lel0lel]

Если делится, тогда $5n^2+6n-1=49k$, $k\in\mathbb{Z}$. Так как $n$ целое, то дискриминант $D=7(8+4\cdot 7k)$ должен быть полным квадратом при некотором $k$, а он им не является.

[Ktina]

lel0lel
Большое спасибо!

[angor6]

Ktina
На известном Вам другом форуме я уже дал своё решение этой задачи. Рискну повторить его здесь, учитывая повтор вопроса.

Если трёхчлен $5n^2+6n-1$ делится на $49,$ то он делится и на $7.$ Тогда на $7$ делятся многочлены $50n^2+60n-10,$ $(50-49)n^2+(60-49)n-10=n^2+11n-10,$ $n^2+4n-3=(n+2)^2-7,$ $n+2.$ Однако, $n^2+11n-10=(n+2)^2+7(n+2)-28$ не делится на $49,$ потому что $(n+2)^2$ и $7(n+2)$ делятся на $49,$ а $28$ не делится.

[Ktina]

angor6
И Вам большое спасибо!