Фурье

[Мироника]

Здравствуйте! У меня тут одна проблема. В задаче требуется разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы ряда Фурье. Функция такая f(x)= \left\{ \begin{array}{l} x+1, if -1<x\leqslant0,\\ 1 , if 0<x\leqslant1 \end{array} \right. Ряд получился такой $\frac {3} {4} +\sum \limits _{m=1}^{\infty} \left ( \frac {1-\cos\pi m} {\pi ^2 m^2} \cos \pi mx + \frac {\cos \pi m} {\pi m} \sin \pi mx \right )$. А вот как построить график суммы ряда Фурье?

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

А вот как построить график суммы ряда Фурье?

Сразу скажу, что полученные Вами коэф-ты ряда я не проверял. Для построения графика суммы ряда Фурье нужно:
1. Выяснить, к каким значениям сходится полученный ряд на отрезке разложения.
2. Выяснить период суммы ряда.
3. Построить график соответствующей периодической функции - суммы ряда.

[Мироника]

ну период равен 2 . да? а как выяснить к каким значениям сходится полученный ряд на отрезке разложения? подставить х=-1 и х=1? а с m что делать?

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

а как выяснить к каким значениям сходится полученный ряд на отрезке разложения?

Вспомнить теоремы о достаточных условиях сходимости ряда Фурье в точке (признак Дини и т.п.....). В таких теоремах обычно тут же сообщается, к какому значению сходится ряд, если он сходится.

[AD]

Функция ограниченной вариации ... признак Дирихле--Жордана ...
Ни о чем не говорит? Не проходили такие вещи?

[Мироника]

признак Дирихле--Жордана нашла. получается, что на концах интервала сходится к 0 и к 1?

[AD]

Мироника писал(а):

получается, что на концах интервала сходится к 0 и к 1?

Как-то вы его странно нашли. Должна ведь получаться периодическая функция, ну как она может к разным значениям на концах интервала сходиться?

[Мироника]

тогда может к 0,5?

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

тогда может к 0,5?

Это вы в "кто хочет стать отличником" играете, или на факты опираетесь?

[AD]

Действительных чисел - континуум, Мироника ... Все не переберёте

P.S.

Мироника писал(а):

тогда может к 0,5?

Правильно. Но все-таки просуммируйте при $x=1$ (тогда $\cos\pi m x=(-1)^m$, $\sin\pi m x=0$) - хотя бы для проверки. Он по идее должен хорошо суммироваться ...

Добавлено спустя 5 минут 10 секунд:

Скажем, чему равна

$$\sum_{m=1}^\infty\frac1{m^2}$$

, вы, наверное, знаете ...
А

$$\int_0^x\frac{\ln(1+t)}t\,dt=x-\frac{x^2}4+\frac{x^3}9-\ldots$$

, при $x=1$ имеем другую сумму ...
Похоже?
Только следите за мной, а то я вам наговорю тут ...

Добавлено спустя 2 минуты:

Brukvalub писал(а):

Это вы в "кто хочет стать отличником" играете ... ?

? Взял(а) "Подсказку форума"

[Мироника]

Думала, я думала... и вот что придумала. Проверьте, пожалуйста. Вот график самой функции f(x) и график суммы S(x)

Так?

[Brukvalub]

График исходной функции - неверен. У нее другая область определения.

[Мироника]

Точное условие было таково: Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом T=2l , определенную на промежутке (-l;l] . Построить графики функции f(x) и суммы ряда Фурье S(x) . Это к тому, если дело в периоде было. Или вы о чем то другом?

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

Точное условие было таково: Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом T=2l , определенную на промежутке (-l;l] .

Вы уж извините, но я только в этом году поступил на курсы медиумов, и, как угадывать полное условие по его обрывку - мы еще не проходили

[Мироника]

Прошу прощения. Просто изначально меня интересовало только как график S(x) построить, поэтому полное условие поленилась писать... Так графики верны, да?