Исследовать на сходимость знакопеременный ряд

[e.mazhnik]

Пытаюсь исследовать на сходимость знакопеременный ряд $a_k = \int\limits_0^{\frac{\sin k}{k}} \frac{\sin t}{t} dt$. С абсолютной сходимостью проблем не возникло (расходится), а вот с условной что-то не выходит. Для этого пробую перейти от этого ряда к ряду $\frac{\sin k}{k}$, который сходится по признаку Дирихле. Понятно, что на больших $k$ $a_k \sim \frac{\sin k}{k}$, но использовать у меня это не получается, поскольку как-то ограничить ряд $a_k$ это не дает. Есть подозрение, что для частичных сумм выполнено \left| \sum\limits_{k=1}^n a_k \right| \leqslant \left| \sum\limits_{k=1}^n \frac{\sin k}{k} \right|, но доказать это утверждение не получается.

[mihaild]

Просто эквивалентности недостаточно. Попробуйте оценить остаток $\left|a_k - \frac{\sin k}{k}\right|$ чем-то, сумма чего сходится.

[kp9r4d]

У вас под интегралом $1 + O(t^2)$ поэтому ряд будет $a_k = \frac{\sin k}{k} + O((\frac{\sin k}{k})^3)$, ясное дело, что $O((\frac{\sin k}{k})^3)$ сходится.

[e.mazhnik]

kp9r4d в сообщении #1239571 писал(а):

ясное дело, что $O((\frac{\sin k}{k})^3)$ сходится.

А это как-то просто следует? Что сходится, например, $\left( \frac{\sin k}{k} \right)^3$ — это понятно. Но тут же у нас бесконечный ряд из таких штук:

$$O \left( \left(\frac{\sin k}{k} \right)^3 \right) = -\frac{1}{3 \cdot 3!} \left( \frac{\sin k}{k} \right)^3 + \frac{1}{5 \cdot 5!} \left( \frac{\sin k}{k} \right)^5 - \ldots$$

Получается, надо делать как-то так:

$$\sum_{k=1}^s O \left( \left(\frac{\sin k}{k} \right)^3 \right) = \sum_{k=1}^s -\frac{1}{3 \cdot 3!} \left( \frac{\sin k}{k} \right)^3 + \sum_{k=1}^s \frac{1}{5 \cdot 5!} \left( \frac{\sin k}{k} \right)^5 - \ldots \leqslant \sum_{t=1}^\infty \frac{\zeta(2t+1)}{(2t + 1) \cdot (2t+1)!}.$$

Или я что-то простое не вижу?

[mihaild]

Попробуйте доказать, что если $\sum x_k$ сходится абсолютно и $y_k = O(x_k)$, то и $\sum y_k$ сходится абсолютно (тут поможет критерий Коши).

[e.mazhnik]

Теперь понял. Спасибо!