Неравенство 14.

[TR63]

Заинтересовало неравенство из здешнего "Олимпиадного раздела" возможностью (?) обобщения в виде:

Дано:

$f=x^n+y-1+A(n)$ при $y^n+x\ge1$, $(x;y)\in[0;1]$; $0<A(n)\le1$ при $n>1$, $A(n=1)=0$; $A(n)$ при $n>1$ монотонно убывает (это условие можно (?) ослабить).

Доказать:

$f\ge0$

1). При $x\ge y$ будет верно, что $f\ge0$ (верно даже усиленное неравенство $x^n+y-1\ge0$).
2). Остаётся доказать, что $f\ge0$ при $x\le y$ $\to$ $y=x+\alpha$; $0\le\alpha\le1$ (т.е. этого достаточно).

Достаточно доказать (?), что $f(x=0)\ge0$, где $f=x^n+(x+\alpha)-1+A(n)$
Из условия следует, что
$\alpha^n\ge[(1-x)^{\frac1 n}-x]^n$ $\to$ $\alpha\ge[(1-x)^{\frac1 n}-x]^n$, т.к.$0\le\alpha\le1$
Рассмотрим $\varphi\le f$, где $\varphi=x^n+x [(1-x)^{\frac1 n}-x]^n-1+A(n)$
$\varphi(x=0)\ge0$ $\to$ $f(x=0)\ge0$.

Вопрос: достаточно ли этих рассуждений для доказательства обобщённого неравенства; если этих рассуждений недостаточно для доказательства обобщённого неравенства, то просьба указать, почему именно (желательно привести контрпример).

[deep down]

Уточните условие. В текущей формулировке его можно понять так:
Пусть $A(n)$ - произвольная функция удовлетворяющая указанным условиям. Тогда для любых $x, y \in[0,1]$ выполняется $f\ge 0$.

В технической части неочевидно почему $\varphi\le f$ и $\varphi(0)\ge 0$.

[TR63]

deep down, да, условие Вы поняли правильно.

deep down в сообщении #1239412 писал(а):

В технической части неочевидно почему $\varphi\le f$ и $\varphi(0)\ge 0$

Действительно, Вы правы. Там опечатка. Пропущен знак "плюс". Должно быть так:

TR63 в сообщении #1239352 писал(а):

Рассмотрим $\varphi\le f$, где $\varphi=x^n+x +[(1-x)^{\frac1 n}-x]^n-1+A(n)$
$\varphi(x=0)\ge0$ $\to$ $f(x=0)\ge0$

Спасибо. Исправила. Теперь очевидно?

[deep down]

Этого я и опасался.
Давайте сначала посмотрим с качественной точки зрения. Зафиксируем какое-нибудь $n>1$. Мы можем выбрать любое $A(n)\in(0,1)$ и всегда найдётся функция удовлетворяющая условиям на $A$. Но из того, что $t+C\ge 0$ при любом $C>0$ следует $t\ge 0$. В нашем случае ($t=x^n+y-1$, $C=A(n)$) получем $x^n+y-1\ge 0$. Что-то здесь не так. А именно, предположение о произвольности $A(n)$.
Посмотрите ещё раз на исходную задачу и попытайтесь сформулировать правдопопобное уверждение.

Теперь главное. Что будет при $x>0$?

[TR63]

deep down в сообщении #1239449 писал(а):

Теперь главное. Что будет при $x>0$?

Да, поняла, надеюсь. Если $\alpha=\operatorname{const}$ или функция $\varphi$ является монотонно возрастающей, то всё сходится. Но эти утверждения являются абсолютно ложными во всей области определения. Поэтому, как минимум, на функцию $A(n)$ нужны дополнительные условия.

deep down в сообщении #1239449 писал(а):

Посмотрите ещё раз на исходную задачу и попытайтесь сформулировать правдопопобное уверждение.

Да, я могу сформулировать правдоподобное рассуждение, но это будет уже другая задача (гипотеза).
Больше вопросов нет.
Спасибо.