Хаос и дробно-линейные отображения

[qwe8013]

Как известно логистическое отображение (по сути квадратичная функция) при некоторых значениях параметра порождает хаос. А может ли порождать хаос дробно-линейное отображение при некоторых значениях коэффициентов?

[Vince Diesel]

Композиция дробно-линейных отображений снова дробно-линейное отображение - сильно перемешивать не будет, даже если много раз применить.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
[info]qwe8013, создавайте темы в разделе "Помогите решить/разобраться"

[/info]

[DeBill]

qwe8013
Дробно-линейных отображений всего три: сдвиг $z\mapsto z+1$ (параболическое) ,$z \mapsto \lambda z$, где $\left\lvert \lambda \right\rvert $ не равно 1 (гиперболическое), или равно 1 (эллиптическое), ну, с точностью до дробно-линейной замены. У параболического одна неподвижная "полуустойчивая" точка: все - и в прошлом, и в будущем - к ней и стремится. Для гиперболических - две: все рождается от одной, и умирает на другой. Для эллиптического (то бишь, поворота) - две, (неасимптотически) устойчивых. При соизмеримости/несоизмеримости угла поворота с $2\pi$, чуток по разному будет...
Так что картинка с аватары - не, не получится....

[qwe8013]

Благодарю за ответы. А "дробно-квадратичное" $x_n=\frac{a+bx_{n-1}+cx_{n-1}^2}{d+ex_{n-1}+fx_{n-1}^2}$ может создать хаос?

[DeBill]

qwe8013
Ну, смотря что иметь в виду под хаосом....
Уже даже для простейшего $z\mapsto z^2 +c $, как Вы (судя по аватаре) хорошо знаете, имеется нечто. То же - и для (почти) всех рациональных (кроме дробно-линейных). Именно, имеются области, в которых отображение ведет себя прилично. А вот на их границе (множестве Жюлиа) - вот там - да, там - хаос.

[qwe8013]

Цитата:

Ну, смотря что иметь в виду под хаосом

На сколько я понимаю, хаотическим считается поведение с положительным показателем Ляпунова.

[dsge]

Какой показатель Ляпунова будет у решения динамической системы, заданной
$x_n=2x_{n-1}$?
Будет ли она хаотической?

[qwe8013]

И правда, не хаотично, но с положительным показателем Ляпунова. А как тогда определить Хаос?

[dsge]

Ну, хаос - это что-то беспорядочное, типа случайного процесса. Один из вариантом определения хаотической траектории может быть такой - траекторию динамической системы можно назвать хаотической, если она имеет непрерывную мощность спектра в смысле теории случайных процессов. Периодические и квазипериодические траектории, все имеют дискретный спектр.