Сходимость ряда из производных

[loser228]

Есть ряд степенной $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с радииусом сходимости $R$. Составим ряд из производных $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$. Нужно показать, что его радиус сходимости также равен $R$. Если пользоваться формулой Коши-Адамара, то получается, что надо показать, что $\varlimsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{ (n+1)\left\lvert a_{n+1}\right\rvert}=\varlimsup\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left\lvert a_{n} \right\rvert}$ . С обычными пределами проблем нет, там все строится на том, что $\lim\limits_{n \to \infty}^{} \sqrt[n]{(n+1)}=1$ и небольших преобразованиях подпредельного выражения, а вот с верхним как быть ?

[ewert]

loser228 в сообщении #1238781 писал(а):

а вот с верхним как быть ?

Должна была быть теорема о том, что верхний предел произведения равен произведению верхнего предела одного сомножителя на просто предел другого (если последний существует, конечно). Если не было -- докажите самостоятельно.

[deep down]

Умножить ряд производных на $x$, чтобы корни были правильной степени, а дальше как предложил ewert.

[loser228]

ewert в сообщении #1238786 писал(а):

loser228 в сообщении #1238781 писал(а):

а вот с верхним как быть ?

Должна была быть теорема о том, что верхний предел произведения равен произведению верхнего предела одного сомножителя на просто предел другого (если последний существует, конечно). Если не было -- докажите самостоятельно.

А если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$ ?

[loser228]

loser228 в сообщении #1238804 писал(а):

А если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$ ?

Ну да, это верно, сам разобрался почему.

[ewert]

loser228 в сообщении #1238820 писал(а):

Ну да, это верно, сам разобрался почему.

Это, естественно, неверно, если просто предел равен нулю или отрицателен, т.е. оговорки, естественно, нужны. Но здесь-то он положителен.

[loser228]

ewert
А почему неверно ?

Где эта теорема есть ? что-то нигде не найду

[Someone]

loser228 в сообщении #1238804 писал(а):

А если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$ ?

loser228 в сообщении #1238864 писал(а):

А почему неверно ?

Возьмём $a_n=n(1+(-1)^n)$ и $b_n=\frac 1{n^2}$. Чему равны $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$ и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_nb_n$?

[loser228]

Someone в сообщении #1238867 писал(а):

loser228 в сообщении #1238804 писал(а):

А если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$ ?

loser228 в сообщении #1238864 писал(а):

А почему неверно ?

Возьмём $a_n=n(1+(-1)^n)$ и $b_n=\frac 1{n^2}$. Чему равны $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n$ и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_nb_n$?

Первый предел равен $+\infty$, а второй нулю.

[Someone]

Значит, неверно, что

loser228 в сообщении #1238804 писал(а):

если верхний предел одного сомножителя равен $+\infty$, то верхний предел произведения тоже будет равен $+\infty$

[loser228]

А в случае конечного верхнего предела и конечного обычного у второго множителя будет теорема выполняться ?

[ewert]

loser228 в сообщении #1238870 писал(а):

А в случае конечного верхнего предела и конечного обычного у второго множителя будет теорема выполняться ?

Если исключить нулевые пределы, то всё зависит от знаков. Если всё неотрицательно, то будет. А если нет, то там возникают проблемы с перескоками между супремумами и инфимумами.

[loser228]

ewert
А можно источник, где эта теорема описана ? Заинтересовало ...

[Someone]

В такой формулировке: если существуют положительные $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_n=A$ и $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$, то существует и $\varlimsup\limits_{n\to\infty}a_nb_n=AB$ (считаем, что произведение положительного числа на $+\infty$ равно $+\infty$).

[ewert]

loser228 в сообщении #1238864 писал(а):

Где эта теорема есть ? что-то нигде не найду

Возможно, что и нигде. Всего не натеоремишь. Я, когда примерно год назад в последний раз приводил теорему о сохранении радиуса на лекции, от доказательства утверждения насчёт произведения просто отмахнулся: дескать, "буквально такого у нас не было, но доказывается оно ровно так же, как и тщательно обсасывавшиеся нами в первом семестре". Иначе я просто не мог поступить: после первого семестра у нас на матане нет экзамена, поэтому интуитивно очевидные вещи доказывать просто неуместно.

Формально же теорема о радиусе доказывается очень просто. Для любого эпсилона, большего нуля, начиная с некоторого номера выполняется $1-\varepsilon<\sqrt[n]n<1+\varepsilon$. Отсюда соответствующая двусторонняя оценка для супремумов произведений; откуда, в свою очередь, и верхний предел произведений зажат в сколь угодно узком интервале вокруг исходного значения; откуда он этому исходному и равен.

Ну плюс надо специально оговорить нулевые и бесконечные верхние пределы. Но даже с учётом этого много времени бы не потребовалось. Да вот -- неуместно было бы.