2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 три диофантовых уравнения с пятью неизвестными
Сообщение04.08.2017, 21:10 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Решить систему уравнений в целых положительных числах $m,n,k,x,y$:
$$\begin{cases} {m \choose 2} + nk = {x \choose 2},\\
{n \choose 2} + mk = {y \choose 2},\\
x + y = m + n + k.
\end{cases}$$

(источник)

 Профиль  
                  
 
 Re: три диофантовых уравнения с пятью неизвестными
Сообщение04.08.2017, 23:11 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Случай $k=0$ (может и не надо включать как не положительное значение) дает $m=x,n=y$.
Случай $m=n$ дает решение$k=4m+2, x=y=3m+1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: три диофантовых уравнения с пятью неизвестными
Сообщение04.08.2017, 23:30 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст - осталось доказать, что других нет...

 Профиль  
                  
 
 Re: три диофантовых уравнения с пятью неизвестными
Сообщение05.08.2017, 10:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть $x=m+z, y=n+t$, тогда $k=z+t$ и приходим к уравнению:
$$2nt=z(z-2a-1),$$
$$2mz=t(t+2a-1).$$
Здесь $a=n-m$. Если предположить $a>0$ (симметрично $a<0$) получаем $z>t$ и уравнение
$$\frac{z(z-2a-1}{t}-\frac{t(t+2a-1}{z}=2a$.
Легко проверяется, что при $a>0$ и $z\le t+2a$ слева величина меньше 2а, а при $z\ge t+2a+1$ слева больше $2a$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group