Свойство изометрического оператора.

Juri · 15.02.2008, 11:44

Есть простейшая задачка, к моему стыду, сомневаюсь в правильности ее решенияя, может быть кто-то подскажет, есть ли ошибки, ну не идти же к научному с такой ерундой. Итак, пусть $A$ - изометрический изоморфизм. Т.е. он обратимый оператор и при этом еще сохраняет расстояния, т.е. $\|Ax\|=\|x\|$ . Это означает, что $\|A\|=1$ и $\|A^{-1}\|=1$ . . Далее, мне нужно доказать, что $\|A^{-1}BA\|= \|B\|$ для любого оператора $B$ , действующего в том же пространстве. Итак, $\|A^{-1}BA\|=\|BA\|$ . Далее, $\|A^{-1}BA\|\leq \|A^{-1}B\|\|A\|$ , при этом $\|A^{-1}BAA^{-1}\|=\|A^{-1}B\|\leq \|A^{-1}BA\|\|A^{-1}\|$ , значит $\|A^{-1} BA\|=\|A^{-1}B\|$ . Откуда уже $\|BA\|=\|A^{-1}B\|=\|B\|$ . Что и требовалось доказать.

Brukvalub · 15.02.2008, 12:04

Juri писал(а):

Итак, $\|A^{-1}BA\|=\|BA\|$

Мне это не кажется самоочевидным :shock:

Juri · 15.02.2008, 13:07

Видимо это доказывается так. $\|A^{-1}\|=1$ , потому что $A$ - изометрический изоморфизм, то есть обратим и сам переводит вектор в вектор такой же длинны. Значит обратный также сохраняет длинну. Значит имеет место $\|A^{-1}\|=1$ . Далее $\|A^{-1}BA\|\leq \|A^{-1}\|\|BA\|=\|BA\|$ и $\|AA^{-1}BA\|=\|BA\|\leq \|A\|\|A^{-1}BA\|=\|A^{-1}BA\|$ . Отсюда уже легко получаем доказываемое равенство $\|A^{-1}BA\|=\|BA\|$ .

Научный форум dxdy

Свойство изометрического оператора.