Свойство изометрического оператора.

[Juri]

Есть простейшая задачка, к моему стыду, сомневаюсь в правильности ее решенияя, может быть кто-то подскажет, есть ли ошибки, ну не идти же к научному с такой ерундой. Итак, пусть A - изометрический изоморфизм. Т.е. он обратимый оператор и при этом еще сохраняет расстояния, т.е. \|Ax\|=\|x\|. Это означает, что \|A\|=1 и \|A^{-1}\|=1. . Далее, мне нужно доказать, что \|A^{-1}BA\|= \|B\| для любого оператора B, действующего в том же пространстве. Итак, \|A^{-1}BA\|=\|BA\|. Далее, \|A^{-1}BA\|\leq \|A^{-1}B\|\|A\|, при этом \|A^{-1}BAA^{-1}\|=\|A^{-1}B\|\leq \|A^{-1}BA\|\|A^{-1}\|, значит \|A^{-1} BA\|=\|A^{-1}B\|. Откуда уже \|BA\|=\|A^{-1}B\|=\|B\|. Что и требовалось доказать.

[Brukvalub]

Juri писал(а):

Итак,\|A^{-1}BA\|=\|BA\|

Мне это не кажется самоочевидным

[Juri]

Видимо это доказывается так. \|A^{-1}\|=1, потому что A - изометрический изоморфизм, то есть обратим и сам переводит вектор в вектор такой же длинны. Значит обратный также сохраняет длинну. Значит имеет место \|A^{-1}\|=1. Далее \|A^{-1}BA\|\leq \|A^{-1}\|\|BA\|=\|BA\| и \|AA^{-1}BA\|=\|BA\|\leq \|A\|\|A^{-1}BA\|=\|A^{-1}BA\|. Отсюда уже легко получаем доказываемое равенство \|A^{-1}BA\|=\|BA\|.