2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Элементарные преобразования над строками матрицы
Сообщение03.08.2017, 14:05 


02/12/16
60
Всем привет, поясните пожалуйста следующий момент в теореме, где доказывается то, что ранг по строкам не меняется при элементарном преобразовании типа (II) (к какой-то строке прибавляется другая с неким коэффициентом)
"$A_s'=A_s+\lambda A_t \Rightarrow A_s=A_s'-\lambda A_t $
и следовательно
$\left\langle A_1,...,A_s+\lambda A_t,...,A_t,...,A_m \right\rangle = \left\langle A_1,...,A_s,...,A_t,...,A_m \right\rangle$"
(Кострикин)
Имеет ли автор ввиду, что все строки матрицы $A'$ линейно выражаются через строки $A$, и наоборот?
Тогда как перейти к равенству линейных оболочек?
P.S. Винберг пишет, что если каждый вектор $a_1,...,a_n$ линейно выражается через $b_1,...,b_n$ и наоборот, то очевидно получается
$\left\langle a_1,...,a_n \right\rangle = \left\langle b_1,...,b_n \right\rangle$
Почему очевидно? Что-то я не могу понять :-(
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования над строками матрицы
Сообщение03.08.2017, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18039
Москва
Уголковые скобки обозначают линейную оболочку?

xjar1 в сообщении #1238005 писал(а):
Тогда как перейти к равенству линейных оболочек?
А Вы определения линейной комбинации векторов и линейной оболочки сформулировать можете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования над строками матрицы
Сообщение03.08.2017, 14:43 


02/12/16
60
Цитата:
Уголковые скобки обозначают линейную оболочку?

Да.
Цитата:
P.S. Винберг пишет, что если каждый вектор $a_1,...,a_n$ линейно выражается через $b_1,...,b_n$ и наоборот, то очевидно получается
$\left\langle a_1,...,a_n \right\rangle = \left\langle b_1,...,b_n \right\rangle$
Почему очевидно? Что-то я не могу понять :-(

Это я понял, что-то затупил) по определению все подходит.
Но остался вопрос, $A_s'=A_s+\lambda A_t \Rightarrow A_s=A_s'-\lambda A_t $ это намек, на то что все строки матрицы $A'$ линейно выражаются через строки $A$, и наоборот? Или тут другой подход?

И еще один вопрос, в пункте, что ранг по столбцам не меняется при элементарных преобразованиях, доказывается, что
$$\sum\limits_{j=1}^{n} \lambda_j A^{j}=0 \Longleftrightarrow \sum\limits_{j=1}^{n} \lambda_j A'^{j}=0 $$
имеется ввиду что решения этих систем совпадают?
Далее идет вывод, что
Цитата:
Во всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы

Как мы перешли к этому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Элементарные преобразования над строками матрицы
Сообщение03.08.2017, 15:41 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
xjar1 в сообщении #1238005 писал(а):
Почему очевидно?
Ну, возьмите любой вектор из левой оболочки. Не входит ли он, часом, в правую?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: confabulez


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group