комплексные числа

[laammer]

Помогите решить уравнение

z^3+9i*z=0

у меня получилось z1=0 и z^2+9i=0

и из 2 уравнения z2,3=+-sqrt(-9i)

непонимаю как преобразовать z2,3 и правильно ли я вообще нашел 2 и 3 корни?

[Gordmit]

Корни выписаны верно. (Почти: я бы не стал писать знак $\pm$ перед знаком корня, т.к. квадратный корень имеет два значения - они, конечно отличаются лишь знаком, но лучше все-таки написать словами: $z_1$ и $z_2$ суть два значения $\sqrt{-9i}$, чтобы не было путаницы с понятием арифметического корня в вещественной области.)

А чтобы извлечь квадратный корень из комплексного числа, проще всего представить его в тригонометрической форме ($z=re^{i\varphi}$). Предварительно можно вытянуть 9 за знак корня, чтобы не тянуть ее всюду в выкладках.

[Brukvalub]

Последние два корня нужно найти как два различных значения квадратного корня из комплексного числа -9i. См.
http://elib.ispu.ru/library/math/sem1/pyartli1/node65.html
http://dvoika.net/matem/sem1/node65-1.html
http://aig.imi.sitc.ru/study/algebradist/kompl2.pdf
http://www.pm298.ru/vissh2.shtml
http://www.fractalworld.xaoc.ru/article/cmplxsqrt.html
http://www.maths.yfa1.ru/algebra.php?id=47
http://mathem.by.ru/kompl5.html
http://atomas.ru/mat/tfkp/1-1-1.html
................

[Jnrty]

Почитайте тему http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=11922, там разбираются аналогичные вопросы.

Jnrty:

На этом форуме принято писать формулы в формате \TeX. Прочтите следующие темы:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=183,
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8355.
Если будете пренебрегать этим правилом, тема отправится в "Карантин".

Ваши формулы должны выглядеть так:
$z^3+9iz=0$, $z_1=0$, $z^2+9i=0$, $z_{2,3}=\pm\sqrt{-9i}$, $z_{2,3}$.

$z^3+9iz=0$,  $z_1=0$, $z^2+9i=0$, $z_{2,3}=\pm\sqrt{-9i}$, $z_{2,3}$.

[laammer]

Извлек корень из $\sqrt{-9i}$

Получилось 3 корня

$z_2=3(\cos(-\pi/8)+i*sin(-\pi/8))$
$z_3=3(\cos(7\pi/8)+i*sin(7\pi/8))$
$z_4=3(\cos(15\pi/8)+i*sin(15\pi/8))$

и теперь в ответе получаетса 4 корня? или каждый из предыдущих 3 корней представляет из себя 2 одинаковых корня?

[Gordmit]

Неправильно извлекли. Как Вы вычисляли?

[laammer]

спасибо, нашел ошибку, получилось

$ z_1=0 $
$ z_2=\sqrt{2}/2+i*\sqrt{2}/2$
$ z_3=-\sqrt{2}/2-i*\sqrt{2}/2$

и теперь ответ получитса из 3 корней или из 5?

[Gordmit]

Конечно из трех (откуда пять?). Не считая корня $z_1=0$ исходного уравнения, есть всего лишь два корня уравнения $z^2+9i=0$ (два значения квадратного корня из $-9i$). Только нашли Вы их снова неправильно. Сделайте проверку: подставьте Ваши $z_2$ и $z_3$ в это уравнение.

[laammer]

да терь забыл на 3 домножить, получилось
$ z_1=0 $
$ z_2=3\sqrt{2}/2-i*3\sqrt{2}/2$
$ z_3=-3\sqrt{2}/2+i*3\sqrt{2}/2$

Всем большое спасибо, особенно Gordmit