2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Делимость суммы обратных
Сообщение01.08.2017, 16:03 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть $H_n=1+\frac 12+...+\frac{1}{n}=\frac{a_n}{b_n}$ записан в виде несократимой дроби.
Доказать, что для любого простого $p>2$ существует бесконечно много значений n, для которых $n|a_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость суммы обратных
Сообщение01.08.2017, 16:06 


21/05/16
4292
Аделаида
Вместо последнего $n$ $p$, я правильно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость суммы обратных
Сообщение01.08.2017, 17:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст в сообщении #1237411 писал(а):
Пусть $H_n=1+\frac 12+...+\frac{1}{n}=\frac{a_n}{b_n}$ записан в виде несократимой дроби.
Доказать, что для любого простого $p>2$ существует бесконечно много значений n, для которых $n|a_n$.

Если имеется в виду $p\mid a_n$, то утверждение неверное.
Контр-примеры для маленьких $p$ даны в A177734. Так, например, $3\mid a_n$ влечёт $n\leq 22$, $5\mid a_n$ влечёт $n\leq 24$, $7\mid a_n$ влечёт $n\leq 102728$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость суммы обратных
Сообщение01.08.2017, 22:30 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
По моим ручным счетам $H_67$ делится даже на 27.
Вообще, лучше ввести локальные гармонические $$h_n=\sum_{k\le n, p\not |k} \frac{1}{k}.$$
Тогда $H_n$ можно разложить в ряд:
$$H_n=h_n+\frac 1p h_{[n/p]}+..=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{p^i}h_{[\frac{n}{p^i}]}=h_n+\frac{1}{p}H_{[\frac np]}.$$
Строим последовательность $n$, для которых $p|a_n$.
В первом уровне это те $n<p$, для которых $p|H_n=h_n$. Не надо думать, что в первом уровне только одна возможность $n_1=p-1$. Для некоторых простых несколько вариантов.
Во втором уровне рассматриваем числа $n_2=pn_1+a_2, 0\le a_2<p$, где $n_1$ число из первого уровня. При любом $a_2$ $H_{n_2}$ p- адический целое. Тем не менее, это не означает, что обязательно найдется $a_2$, что $p|H_{n_2}$. Если не найдется на этом уровне, то последовательность обрывается.
Однако, если найдется несколько таких, то разветвляется, как в случае $p>3$ во втором уровне. В некотором смысле вероятность разветвления не меньше вероятности обрыва последовательности. Для $p=3$, если мои расчеты верны, то за счет большого разветвления (уровня 3) при $n=67$ получится бесконечная последовательность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость суммы обратных
Сообщение02.08.2017, 00:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст в сообщении #1237527 писал(а):
По моим ручным счетам $H_67$ делится даже на 27.

Нет, не делится даже на 3.
Код:
? numerator( sum(i=1,67,1/i) ) % 3
%1 = 2


-- Tue Aug 01, 2017 17:01:41 --

Минимальное простое число $p$, для которого конечность $n$ с условием $p\mid a_n$ не установлена, - это $p=83$.

Подробно этот вопрос изучался в статье
D.W. Boyd, A p-adic study of the partial sums of the harmonic series, Experimental Math., Vol. 3 (1994), No. 4, 287-302.

Он, например, установил, что максимальное $n$ с условием $11\mid a_n$ есть $n=1011849771855214912968404217247$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость суммы обратных
Сообщение02.08.2017, 05:18 


21/05/16
4292
Аделаида
Формула неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость суммы обратных
Сообщение02.08.2017, 07:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Эта задача в виде, что при $p\ge 5$ количество тех $n$, что $p|H_n$ равно (или по крайней мере не меньше) 3 появлялась в Mathlinks.
Я показал, что для p=3 так же не меньше 3 у которых числитель делится на 3 и высказал предположение, что их бесконечно.
Основания такие. Пусть $h_0=0, h_1,..,h_{p-1}$ р- адические представления р-адический целых. Среди них имеются равные по модулю р и даже по модулю $p^2, (p>3).$
Если среди них $k$ различных, то построение в следующем витке обрывается с вероятностью $\frac{p-k}{p}$. В то же время, при попадании на равные остатки разветвляется, может даже сразу на несколько частей и эта вероятность не меньше $\frac{p-k}{p}$.

Спасибо maxal, просвятил. Хотел здесь разобраться, верна ли такая гипотеза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Делимость суммы обратных
Сообщение02.08.2017, 18:31 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Руст в сообщении #1237589 писал(а):
Эта задача в виде, что при $p\ge 5$ количество тех $n$, что $p|H_n$ равно (или по крайней мере не меньше) 3 появлялась в Mathlinks.

В таком случае имеет смысл указывать конкретные ссылки, чтобы была возможность посмотреть первоисточник, а также возможно добавить и туда полезную информацию.
Здесь, как я понял, ссылка такая: http://artofproblemsolving.com/communit ... 18p8647928

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group