Задача про многочлен и треугольник

[icego]

Здравствуйте!
Я решал задачу со Всероссийской олимпиады школьников 2017 года (10 класс) и получил решение, отличающееся от официального.
В своем решение я использовал неравенство, верность которого я прошу Вас проверить, также у меня есть вопрос по задаче.

Формулировка задачи:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n\geqslant2$ c неотрицательными коэффициентами, а $a, b$ и $c$ — длины сторон некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что числа $\sqrt[n]{P(a)}, \sqrt[n]{P(b)}$ и $\sqrt[n]{P(c)}$ также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Решение:
Можно считать, что $a\geqslant b\geqslant c$. Из условия задачи следует, что $a^2<b^2+c^2$.
Требуется доказать, что $\sqrt[n]{P(a)^2}<\sqrt[n]{P(b)^2}+\sqrt[n]{P(c)^2}$.
Я это делаю с помощью неравенства $\sqrt[n]{x^2}+\sqrt[n]{y^2}\geqslant \sqrt[n]{(x+y)^2}$.
По-моему оно верное. Если $n=2$, то достигается равенство. Если $n>2$, то для его доказательства можно возвести обе части неравенства в степень $n$ и тогда левая часть будет не меньше $x^2+y^2+n(\sqrt[n]{y^2}\sqrt[n]{x^2}^{n-1}+\sqrt[n]{x^2}\sqrt[n]{y^2}^{n-1})$, а это выражение не меньше $x^2+y^2+2nxy$, что строго больше $(x+y)^2$.
Тогда, завершая решение задачи, $\sqrt[n]{P(b)^2}+\sqrt[n]{P(c)^2}\geqslant \sqrt[n]{(P(b)+P(c))^2}>\sqrt[n]{P(a)^2}$, последнее неравенство следует из того, что $P(x)$ — многочлен c неотрицательными коэффициентами и $a<b+c$ по неравенству треугольника. При этом, условие того, что треугольник со сторонами $a, b$ и $c$ является остроугольным я не использовал. Мой вопрос в том, требуется ли это условие вообще? Если оно необходимо, то где ошибка в моем решение?

[mihaild]

icego в сообщении #1236910 писал(а):

$x^2+y^2+n(\sqrt[n]{y^2}\sqrt[n]{x^2}^{n-1}+\sqrt[n]{x^2}\sqrt[n]{y^2}^{n-1})$, а это выражение не меньше $x^2+y^2+2nxy$,

Подставим $y = 1$, тогда последнее слагаемое в первом случае это $n(x^{2 - \frac{2}{n}} + x^{\frac{2}{n}})$ - что при достаточно больших $x$ меньше чем $2nx$. А последнее слагаемое во втором случае - как раз $2nx$.

[icego]

mihaild в сообщении #1236913 писал(а):

icego в сообщении #1236910 писал(а):

$x^2+y^2+n(\sqrt[n]{y^2}\sqrt[n]{x^2}^{n-1}+\sqrt[n]{x^2}\sqrt[n]{y^2}^{n-1})$, а это выражение не меньше $x^2+y^2+2nxy$,

Подставим $y = 1$, тогда последнее слагаемое в первом случае это $n(x^{2 - \frac{2}{n}} + x^{\frac{2}{n}})$ - что при достаточно больших $x$ меньше чем $2nx$. А последнее слагаемое во втором случае - как раз $2nx$.

Я использовал неравенство Коши, вроде бы все верно.

-- 31.07.2017, 00:43 --

Я понял в чем ошибка, неравенство $\sqrt[n]{(P(b)+P(c))^2}>\sqrt[n]{P(a)^2}$ неверно.

[Руст]

Используйте норму $L_{n/2}$ для векторов с координатами $(a_ix^{2i})^{1/n}$ для многочлена $P(x)=\sum_{i=0}^n a_i x_i^n$.