неравенство

[Руст]

Пусть для положительных $x,y$ и $n\ge 1$ выполняется неравенство

$$x+y^n\ge 1.$$

Доказать, что

$$x^n+y\ge 1-\frac{\ln n}{n}.$$

[Руст]

Зря заклевали Ktina в соседнем посте. Она старается по своему развлечь народ. Кому скучно может не читать. На самом деле не просто придумать хорошую задачу. С одной стороны она не должна требовать специфических знаний за рамкой общего курса математики для технических вузов. С другой стороны должна быть решабельной, не проблема типа Гольдбаха. К тому же должна иметь изюминку.
Эта задача была в Mathlinks с $n=2016$ и $\frac{1}{100}$ вместо $\frac{\ln n}{п}$. В таком виде она скучная и я проигнорировал. Я добавил новую действительную переменную $n\ge 1$, и сделал оценку не улучшаемой в том смысле, что $\forall \alpha<1$ существует $N$, что $\forall n>N$ существует $x,y$, что $x^n+y<1-\frac{\alpha \ln n}{n}.$

[kotenok gav]

Руст в сообщении #1236935 писал(а):

Она старается

Вообще-то, он.

[g______d]

Переменная $x$ выглядит как-то очень искусственно. Последнее неравенство только усилится, если уменьшить $x$ или $y$, поэтому можно считать, что $x=1-y^n$, и тогда задача сведётся к

$$ f(y):=(1-y^n)^n+y\ge 1-\frac{\ln n}{n} $$

При этом $y\in [0,1]$. Ну, $f(0)=f(1)$, $f'$ имеет два корня (квадратное уравнение), $f$ монотонно возрастает в окрестности нуля, поэтому максимум будет достигаться в первом корне, дальше получается некоторое неравенство для $n$, которое мне лень выписывать. Или изюминка будет дальше?

[lel0lel]

g______d в сообщении #1237136 писал(а):

$f'$ имеет два корня (квадратное уравнение)

Корней, конечно, будет два, но вот уравнение (в общем случае) отнюдь не квадратное. Поэтому выразить их через $n$ не удастся.

Предложенное автором неравенство для больших $n$ можно доказать, рассмотрев неравенство $1-y^n\geq y$, и заметить, что если $n\to\infty$, то оно выполняется при $y=1-\ln n/n$. Но на мой взгляд решать эту задачу легче через доказательство более сильного неравенства $x^n+y\ge 1/\sqrt[n]{n}$. Его получить несложно.

[g______d]

Хм, да, я обсчитался :(

[lel0lel]

Приведу свое решение. Рассмотрим доказываемое неравенство $y+x^n\ge 1/\sqrt[n]{n}$ (*). При $y\ge1/\sqrt[n]{n}$ и $x\ge1/\sqrt[n^2]{n}$ оно верно, так как $x>0$ и $y>0$. Следовательно область возможного невыполнения неравенства (*) (ее и будем исследовать) задается так $y<1/\sqrt[n]{n}$ и $x<1/\sqrt[n^2]{n}$. Первое из этих неравенств с помощью известного по условию задачи $x+y^n\ge 1$ (**) сводится к $x>1-1/n$. Таким образом, достаточно рассмотреть интервал $x\in(1-1/n,1/\sqrt[n^2]{n})$ и доказать выполнимость на нем (*) при условии (**). Возведем обе положительные части (*) в степень $n$:
$y^n+x^{n^2}+\sum_{i=1}^{n-1}\left(\frac{n}{i}\right)y^i x^{n(n-i)}\ge 1/n$;
заменяем $y^n$ на $1-x$; учитывая (**), получим неравенство
1+x^{n^2}+\sum_{i=1}^{n-1}(\dots)\ge x+1/n$
выполнение которого влечет выполнение исходного. Так как $\sum_{i=1}^{n-1}(\dots)>0$ и неравенство 1+x^{n^2}\ge x+1/n$ (в частях которого монотонные со всеми производными функции) верно при $x\in(1-1/n,1/\sqrt[n^2]{n})$, то (*) тоже верно на этом интервале.

[Руст]

На самом деле это неравенство можно уточнять в следующем порядке малости.
Верно и оценка снизу $1-\frac{\ln n}{n+\frac 12 }$. Это уже точнее вашей оценки. Кажется можно уточнить и до
$1-\frac{2 \ln n}{2n+1+\ln n}$.
Но коэффициент перед главным членом $1-\alpha \frac{\ln n}{n}$ нельзя уменьшить.