Квадратичность (-1) по модулю 4k+1

[fractalon]

После доказательства закона квадратичной взаимности обычно первым делом замечают, что из него элементарным образом следует квадратичность вычета $(-1)$ по модулю $4k+1$ и его неквадратичность по модулю $4k+3$.
То же самое легко можно вывести из природы первообразного корня.
А есть какие-то более элементарные доказательства этого факта, не опирающиеся на столь общие и сложные утверждения?

[lel0lel]

Пусть $a$ любой квадратичный невычет для простого $p=4k+1$. Тогда $a^{2k}\equiv-1\, (\bmod{p})$. Следовательно $-1$ квадратичный вычет по модулю $p$.

[iou]

Пусть $p=4k+3$ $ -$ простое число, тогда для любого ненулевого остатка $a$ по модулю $p$ имеем $a^{4k+2} \equiv 1 \mod p$, то есть $(a^2)^{2k+1} \equiv 1 \mod p,$ поэтому $-1$ $-$ квадратичный невычет по модулю $p.$

[fractalon]

lel0lel в сообщении #1236159 писал(а):

Пусть $a$ любой квадратичный невычет для простого $p=4k+1$. Тогда $a^{2k}\equiv-1\, (\bmod{p})$.

А этот факт как получить?

[Cash]

fractalon, определение квадратичного вычета/невычета не пробовали посмотреть?
Там критерий Эйлера сразу же идет.

[iou]

fractalon в сообщении #1236186 писал(а):

А этот факт как получить?

Воспользуйтесь малой теоремой Ферма.