Критерий Коши

[loser228]

По критерию Коши числовая последовательность $a_n$ имеет конечный предел $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists N_0 \in\mathbb{N} : \forall n,m>N_0 \left\lvert a_n-a_m \right\rvert < \varepsilon$

А вот в числовых рядах удобно использовать такую вариацию данного критерия $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists N_0 \in\mathbb{N} : \forall n>N_0, \forall m \in \mathbb{N} \left\lvert a_{n+m}-a_n \right\rvert < \varepsilon$. Как перешли от первого от второму ?

[mihaild]

Во-первых, во второй строчке у вас, видимо, опечатка - присутствует свободная переменная $p$.
Во-вторых, если уж критерий применяется для рядов, то скорее всего где-то должен быть знак суммы...

[iifat]

Ну уж не знаю, как вам посоветовать, чтоб, в нарушение правил, не привести полное решение.
Попробуйте вспомнить, что связанные переменные в разных формулах — вообще говоря, разные. Переименуйте их так чтоб они не пересекались и попробуйте найти связи.

[loser228]

mihaild в сообщении #1235887 писал(а):

Во-первых, во второй строчке у вас, видимо, опечатка - присутствует свободная переменная $p$.
Во-вторых, если уж критерий применяется для рядов, то скорее всего где-то должен быть знак суммы...

опечатку я исправил, в рядах применяем критерий для последовательности частичных сумм

[iifat]

mihaild в сообщении #1235887 писал(а):

если уж критерий применяется для рядов, то скорее всего где-то должен быть знак суммы

Подозреваю, во втором примере $a_n$ как раз и есть частичные суммы. Впрочем, мысль в голове ТС написана таким неразборчивым почерком, что боюсь ошибиться при чтении...

[mihaild]

Т.е. вопрос просто как доказать эквивалентность условий?
Как обычно - нужно доказать две импликации. Пусть вас известно, что первое условие выполнено - т.е. для любого $\varepsilon$ вы умеете находить $N_0$ так, чтобы было выполнено верхнее утверждение. Теперь вам приносят какое-то число в качестве $\varepsilon$ и просят подобрать $N_0$ для второго условия. Как бы это можно было сделать?

[loser228]

mihaild в сообщении #1235892 писал(а):

Как бы это можно было сделать?

Я полагаю, что взять $N_0$ из первого условия, поскольку если выполняется $\forall n,m>N_0 \left\lvert a_n-a_m\right\rvert < \varepsilon$ , а номера $n$ и $n+m$ удовлетворяют условию $>N_0$, т. к. $m\in\mathbb{N}$

[mihaild]

Да, правильно. Нам гарантировали неравенство для любых $n, m$ - а значит, и для $n = n\prime, m = n\prime + m\prime$ (для удобства считаем, что во второй строчке индексы со штрихами).
Теперь нужно аналогично показать импликацию в обратную сторону.

[loser228]

mihaild в сообщении #1235900 писал(а):

Теперь нужно аналогично показать импликацию в обратную сторону.

Я так понимаю, в качестве $N_0$ нужно брать $N_0$ из второй строчки, но нам нужно чтобы для любых номеров $>N_0$ выполнялось требуемое условие, а мы можем брать любой один >N_0 и увеличивать его на сколько угодно. То есть таким образом требуемые два номера из первой строчки мы можем получить взяв один (меньший), который найдется и увеличить его на сколько нужно, и в силу условия во второй строке придем к выполнению первой.

[ewert]

loser228 в сообщении #1235884 писал(а):

По критерию Коши числовая последовательность $a_n$ имеет конечный предел $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists N_0 \in\mathbb{N} : \forall n,m>N_0 \left\lvert a_n-a_m \right\rvert < \varepsilon$

А вот в числовых рядах удобно использовать такую вариацию данного критерия $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0 \exists N_0 \in\mathbb{N} : \forall n>N_0, \forall m \in \mathbb{N} \left\lvert a_{n+m}-a_n \right\rvert < \varepsilon$. Как перешли от первого от второму ?

Тупо перешли -- просто переобозначениями. Эм в верхней строчке -- это эн плюс эм в нижней. Плюс стандартная приговорка: "для определённости примем, что в верхней строчке эн меньше эм и переобозначим..."

-- Ср июл 26, 2017 12:14:41 --

mihaild в сообщении #1235887 писал(а):

скорее всего где-то должен быть знак суммы...

Нет, не должен. ТС открытым текстом говорил, что речь о критерии именно для последовательностей, а к каким там суммам он будет дальше применяться -- дело уже десятое.

Но, между прочим, это проясняет вопрос о том, зачем вообще эта переформулировка понадобилась. Затем, что выписывать суммы с перевёрнутыми пределами суммирования как-то неуютно.