Про углы

[Tauon]

Вот есть у нас комплексное пространство с некоторым комплексным числом $x_1 + i y_1$ в нем:



Угол $\alpha$ в нем мнимый?

Ведь $\tg(\alpha) = \dfrac{i y_1}{x_1}$, \dfrac{i y_1}{x_1}$ — величина мнимая, значит и тангенс мнимый. А раз тангенс мнимый, то и угол $\alpha$ мнимый. Так?


А если у нас есть кватернионное пространство, построенное на осях $Oa$, $Oib$, $Ojc$, $Okd$ и в нем есть некоторый кватернион $a_1 +ib_1+jc_1+kd_1$. Угол $\beta$ тоже мнимый?



А как тогда быть в проекции на пространство $Oibjc$?



Ведь $\tg($\gamma$) = \dfrac{j c_1}{i b_1}$. Но $\dfrac{j}{i} = $\pm k$$ (знак плюс или минус будет смотря как делить). Т.е. вроде как угол опять мнимый?

Или все это ерунда и углы всегда вещественны?

[Mikhail_K]

Tauon в сообщении #1235391 писал(а):

комплексное пространство с некоторым комплексным числом $x_1 + i y_1$ в нем

Комплексное пространство, или комплексная плоскость? Потому что комплексные числа лежат в комплексной плоскости, а в комплексном пространстве (какой размерности?) лежат векторы.

Tauon в сообщении #1235391 писал(а):

Угол $\alpha$ в нем мнимый?
Ведь $\tg(\alpha) = \dfrac{i y_1}{x_1}$, \dfrac{i y_1}{x_1}$

Нет, угол самый обычный. Длины катетов - числа вещественные, а не мнимые. Вспомните, например, что модуль, вещественная часть и мнимая часть комплексного числа - это вещественные числа.

[Tauon]

Mikhail_K в сообщении #1235392 писал(а):

Комплексное пространство, или комплексная плоскость? Потому что комплексные числа лежат в комплексной плоскости, а в комплексном пространстве (какой размерности?) лежат векторы.

Ну я имел в виду комплексное пространство размерности 2 в виде комплексной плоскости.

Mikhail_K в сообщении #1235392 писал(а):

Нет, угол самый обычный. Длины катетов - числа вещественные, а не мнимые. Вспомните, например, что модуль, вещественная часть и мнимая часть комплексного числа - это вещественные числа.

Понятно.

Вопрос возник в связи с интересом к вращению в кватернионном пространстве. Ведь если углы вещественны, то оно вращается как обычное 4D, а если же углы мнимые, то вращение будет не совсем обычным (там вроде как появятся гиперболические версии синуса, косинуса, тангенса и т.д.). Значит кватернионное пространство можно вращать как обычное 4D?

[Someone]

Tauon в сообщении #1235393 писал(а):

Ну я имел в виду комплексное пространство размерности 2 в виде комплексной плоскости.

"Комплексное пространство размерности $2$" имеет алгебраическую размерность $2$ и топологическую размерность $4$. А комплексная плоскость — $1$ и $2$ соответственно.

Tauon в сообщении #1235393 писал(а):

Значит кватернионное пространство можно вращать как обычное 4D?

Пространство кватернионов имеет обычную структуру четырёхмерного евклидова пространства.

[Tauon]

Someone в сообщении #1235396 писал(а):

"Комплексное пространство размерности $2$" имеет алгебраическую размерность $2$ и топологическую размерность $4$. А комплексная плоскость — $1$ и $2$ соответственно.

Оу... Этого я не знал. Тогда корректней будет "комплексная плоскость".

Someone в сообщении #1235396 писал(а):

Пространство кватернионов имеет обычную структуру четырёхмерного евклидова пространства.

ОК. Понятно.

[Someone]

Чтобы совсем запутать: комплексную плоскость можно рассматривать как линейное пространство над полем действительных чисел. Тогда алгебраическая размерность будет равна $2$. Аналогично с комплексными линейными пространствами: если их рассматривать как линейные пространства над $\mathbb R$ вместо $\mathbb C$, то алгебраическая размерность удваивается.

И ещё интереснее: мы можем рассмотреть $\mathbb R$ как линейное пространство над полем рациональных чисел $\mathbb Q$. Алгебраическая размерность будет бесконечной (континуум), а топологическая, естественно, $1$.