Возведение матрицы 2х2 в степень.

[PWT]

Добрый день! Правильно ли я понимаю, чтобы возвести матрицу $A$ $2\times 2$ в степень $n$, достаточно найти собственные значения и собственные векторы матрицы и далее по формуле $A^n=S^{-1}BS$, где

$B=\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2)$, в случае кратных корней $\lambda_1=\lambda_2=\lambda$ будет просто $B=\operatorname{diag}(\lambda, \lambda)$

То есть в случае матриц $2\times 2$ не нужно думать о жордановой форме, правильно ведь? Для матриц $3\times 3$ и выше, ясно, что нужна Жорданова форма.

-- 20.07.2017, 22:28 --

Хотя, в случае совпадения корней, нужно будет над диагональю поставить $1$, потому как жорданова форма будет именно такая. Правильно ведь?

[svv]

Проверьте на матрице $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$

-- Чт июл 20, 2017 22:31:38 --

PWT в сообщении #1234961 писал(а):

Хотя, в случае совпадения корней, нужно будет над диагональю поставить $1$, потому как жорданова форма будет именно такая. Правильно ведь?

Не совсем. Единица иногда будет, а иногда нет.

[PWT]

На матрице, которую вы предложили получается, что корни хар-ческого уравнения равны единице, потому их нужно разместить на диагонали, а над диагональю будет тоже 1. Разве в случае кратных корней может быть иначе? Кстати, интересно, что Жорданова форма совпала с исходной матрицей. А можно еще что-то посчитать, где неверно мое предположение?

[svv]

PWT в сообщении #1234983 писал(а):

Разве в случае кратных корней может быть иначе?

Конечно! Например, если матрица «от природы» имеет вид $\begin{bmatrix}\lambda& 0\\0 &\lambda\end{bmatrix}$, то, как Вы ни старайтесь, создать над диагональю единицу преобразованиями подобия не получится (с сохранением всего остального, разумеется).

-- Чт июл 20, 2017 22:50:05 --

PWT в сообщении #1234983 писал(а):

А можно еще что-то посчитать, где неверно мое предположение?

Вы не учитываете самый распространённый случай: жордановы клетки могут иметь размер 1.

[PWT]

А разве в стартпосте я не учел это?))

[svv]

Э... мне показалось, что Вы ищете один правильный шаблон ЖНФ для всех матриц $2\times 2$ с кратным собственным значением. Но тут возможно два варианта.

Для матрицы $9\times 9$ с собственным значением $\lambda$ кратности 9 вариантов очень много. Например, ЖНФ может быть такой (нули для наглядности опущены):
$\begin{bmatrix}\lambda&&&&&&&&\\&\lambda&&&&&&&\\&&\lambda&1&&&&&\\&&&\lambda&&&&&\\&&&&\lambda&1&&&\\&&&&&\lambda&&&\\&&&&&&\lambda&1&\\&&&&&&&\lambda&1\\&&&&&&&&\lambda\end{bmatrix}$
Здесь две клетки порядка $1$, две клетки порядка $2$ и одна клетка порядка $3$.

[Xaositect]

Для матриц $2\times 2$ возможны 2 вида жордановых форм: $\begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2\end{bmatrix}$ (возможно, $\lambda_1 = \lambda_2$) и $\begin{bmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}$. Первую возвести в степень просто, и вторую тоже просто, но надо немного подумать. Элемент на месте единицы тоже меняется.