Неравенство с последовательностью Фибоначчи

[SomePupil]

Зафиксируем $x_1 \in [0,1)$ и определим последовательность $\{x_n\}$ по правилу $x_{n+1} = 0,$ если $x_n = 0$ и $x_{n+1} = \frac 1{x_n} - [1/x_n],$ если $x_n \ne 0.$ Докажите, что для всех $n \ge 1,$

$$\sum\limits_{k=1}^n x_k < \sum\limits_{k=1}^n \frac{F_k}{F_{k+1}},$$

где $\{F_n \} -$ последовательность Фибоначчи, $F_1 = F_2 = 1.$

P. S. Квадратные скобки в уравнении наверху обозначают целую часть числа.

[Vince Diesel]

Цепные дроби?

[SomePupil]

Vince Diesel в сообщении #1234834 писал(а):

Цепные дроби?

Они самые.