Интегрирование функциональных последовательностей

[Tiberium]

В Кудрявцеве (задачнике) формулировка такая:

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{u_n(x)}$ равномерно сходится на $[a;b]$, а каждая из функций $u_n(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то ряд: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\int\limits_{x_0}^{x}{u_n(t)dt}}$ где $x_0 \in [a;b]$ сходится равномерно на отрезке $[a,b]$ и ряд можно почленно интегрировать.

В Ильине-Позняке и Фихтенгольце сразу сказано про отрезок $ [0;x]$, где $ |x|<R$

Я не могу понять, почему говорится о "любом $x_0$, если для разных $x_0$ из отрезка $[a,b]$ мы будем получать разные значения для суммы ряда, например.

В примерах в том же Кудрявцеве всегда при нахождении суммы рядов (с почленным интегрированием) пределы интегрирования берутся именно $[0;x]$.
Это, видимо, что-то совсем очевидное, но для меня никак не очевидно, почему именно $[0;x]$.

[ewert]

Tiberium в сообщении #1234527 писал(а):

для меня никак не очевидно, почему именно $[0;x]$.

Просто чтобы не вводить лишних букв. Какая разница, ноль, или $a$, или $x_0$.

Tiberium в сообщении #1234527 писал(а):

если для разных $x_0$ из отрезка $[a,b]$ мы будем получать разные значения для суммы ряда, например.

А конкретное значение сумм никого и не интересует. Утверждается лишь, что ряд из интегралов с переменным верхним пределом сходится равномерно и что его сумма равна соответствующему интегралу от суммы исходного ряда.

[Tiberium]

ewert в сообщении #1234533 писал(а):

А конкретное значение сумм никого и не интересует. Утверждается лишь, что ряд из интегралов с переменным верхним пределом сходится равномерно и что его сумма равна соответствующему интегралу от суммы исходного ряда.

Да, так и следовало мне сразу интерпретировать прочитанное. А я зациклился на том, что не понимаю, почему взяли именно этот отрезок, но не вник в суть утверждения. Спасибо!