IMO 2017 (задача 2)

[arqady]

Найдите все функции $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$, которые при всех $x$ и $y$ удовлетворяют равенству:

$$f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy)$$

[lel0lel]

$f(x)=0, f(x)=c(1-x)$, где $c\in \mathbb{R}$.

[12d3]

1) Подставим $x=y=0$. Если обозначить $f(0)=c$, то $f(c^2)=0$.
2) Подставим $y=c^2$. Тогда $c+f(x+c^2)=f(c^2 x)$. Если $c^2 \neq 1 $, то подставив $x=\frac{c^2}{c^2-1}$, получим $c=0$, и тогда $f(x) \equiv 0$. Если же $c^2=1$, то $f(1)=0$. Дальше будем рассматривать только случай $c^2=1$.
3) Пусть для некоторого $x_0 \neq 1\,\,\, f(x_0)=0$. Подставим $x=x_0,y=\frac{x_0}{x_0-1}$, получим $c+ f\left(\frac{x_0^2}{x_0-1}\right)=f\left(\frac{x_0^2}{x_0-1}\right)$. Противоречие. Значит $f(x)=0 \Rightarrow x=1$.
4) Подставим $y=0$. Получим $f(cf(x))+f(x)=c$. Следовательно, любого $t$ если $\exists x : t=cf(x) $, то $f(t)=c-\frac{t}{c}=c-ct=c(1-t)$.
5) Подставим $y=1$, получим $f(x)-f(x+1) = c$. Следовательно, для целого $n$ верно $f(x)-f(x+n)=cn$. А т.к. $f(1)=0$, то для любого целого $x$ верно $f(x) = c(1-x)$.
6) Пусть для некоторого $x_0 \,\,\, f(x_0)=c$. Тогда из пункта 4 $f(x_0+1) = c-c=0$. Из пункта 3 $x_0+1=1 \Rightarrow x_0=0$. Т.е. $f(x)=c \Rightarrow x=0$.
7) Пусть для некоторых $a,b$ $f(a)=f(b)$. Тогда $f(a-1)=f(b)+c$ и для любого целого $n$ $f(a+n-1)=f(b+n)+c$. Если $n$ достаточно большое, то $(b+n)^2 \ge 4(a+n-1)$, и тогда $\exists x,y : a+n-1=xy \wedge b+n=x+y$. Подставив эти $x,y$, получим $f(f(x)f(y))=c$. Из пункта 5 следует, что $f(x)f(y)=0 \Rightarrow x=1 \vee y=1 \Rightarrow (x+y)-xy = 1$. Значит $ (b+n)-(a+n-1)=1 \Rightarrow a=b$. Т.е., доказали, что функция инъективна.
8) Возьмем любое $x$, обозначим $y=cf(x)$. Из пункта 4 $f(y)=c(1-y) \Rightarrow 1-y = cf(y)$. Применяем теперь утверждение пункта 4 к $(1-y)$, получим $f(1-y)=c(1-(1-y))=cy$. Но у наc уже $f(x)=cy$. Из инъективности следует, что $x=1-y \Rightarrow 1-x=cf(x) \Rightarrow f(x)=c(1-x)$, где $c^2=1$.
Таким образом, Всего существуют три таких функции $f(x)=c(1-x)$, где $c \in \{-1,0,1\}$

[lel0lel]

12d3 в сообщении #1234564 писал(а):

где $c \in \{-1,0,1\}$

Точно, что-то я не стал подставлять решение.

[DeBill]

12d3
Здорово!
Первые 5 шагов я прошел, да, один в один. А вот до 6-го - такого простого, но ключевого - не допер. Так что при д-ве инъективности - по тому же плану , вместо 6 пытался учесть 3, безуспешно, увы.