Равновесие системы диф. уравнений

[Alexgalustov]

Здравствуйте! Не у кого спросить, посмотрите, пожалуйста, правильно ли по логике делаю. В литературе, которую находил, разбиралась теория в основном. Четко расписанную практику не нашёл.

Найти требуется все положения равновесия системы
$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}&=&5-x^2-y^2 \\ \dot{y}&=&-x+y^2+1 \\ \end{array} \right.$
и исследовать их на устойчивость.

Сначала нашел положения равновесия (приравнял к нулю каждое и решил систему). Решив, получил четыре точки:
$(-3;2i), (-3;-2i), (2;1), (2;-1)$
Далее применил метод, который называется "устойчивость тривиального решения по первому приближению".
Покажу на примере точки $(2;1)$:
Рассматриваю систему, тривиальное решение которой соответствует решению $(2;1)$ исходной системы:
$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}&=&5-(x+2)^2-(y+1)^2 \\ \dot{y}&=&-(x+2)+(y+1)^2+1 \\ \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}&=&-2x-2y-x^2-y^2 \\ \dot{y}&=&-x+2y+y^2 \\ \end{array} \right.$

$g(x,y)=\binom{-x^2-y^2}{y^2}=o(x,y)$ при $\parallel(x,y)\parallel\to0$,
поэтому всё хорошо, метод применим, продолжаю

A=$\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix}$
$$\det (A-\lambda E)= \lambda^2-6=0$ \lambda=\pm\sqrt{6}$
Существует корень с положительной вещественной частью.
Следовательно, согласно соответствующей теореме, решение неустойчиво.

И так далее проверил все решения.
(все получились неустойчивы, кроме $(2;-1)$ – оно асимптотически устойчиво)
Вопрос, правильно ли я решил задание?
Заранее спасибо!

[GAA]

В случае точки покоя с координатами $(2;1)$ у меня расхождение c Вами в матрице линеаризованной системы. У меня получилась матрица $A$ c первой строкой $(-4; -2)$; собственные числа $-1+\sqrt{11}$, $-1-\sqrt{11}$ — седло. (В целом согласен с Вами.)

В точке $(2; -1)$: собственные числа $-3+i$, $-3-i$ — устойчивый фокус. (Согласен с Вами.)

[В формуле $\det (A-\lambda E)= \lambda^2-6=0$ в начальном сообщении отсутствовал пробел между \lambda и E. Отредактировал.]

[Alexgalustov]

GAA в сообщении #1233955 писал(а):

У меня получилась матрица $A$ c первой строкой $(-4; -2)$

Точно! Я забыл удвоить произведение, когда квадрат раскрывал.
Спасибо Вам огромное!

[dima_1985]

Хочется спросить. На устойчивость проверяются только действительные точки ?

[Someone]

dima_1985 в сообщении #1234016 писал(а):

На устойчивость проверяются только действительные точки ?

А у Вас $x$, $y$, $t$ действительные или комплексные? По умолчанию они считаются действительными.