Наложение сетки на фигуру. Коэффициент заполнения ячейки

[Legioner93]

Задана некоторая область $G$ в $\mathbb{R}^3$, можно считать, что выпуклая.
Будем считать, что область задана своей индикаторной функцией

$$1_G (\vec{r}) = \begin{cases} 1,& \vec{r} \in G\\ 0,& \vec{r} \notin G\\ \end{cases}$$

Самый простой способ дискретизации этой области -- это ввести декартову сетку, и положить вес каждой ячейки сетки равным значению $1_G$ в центре ячейки, помноженному на её объём:

$$g(\vec{r_i}) = 1_{G} (\vec{r_i} + \frac{{\Delta}\vec{r}}{2}) \cdot V(\Delta \vec{r_i}), \qquad \qquad (1)$$

А какие есть способы для более точного вычисления весов ячеек?

То есть, если ввести вес ячейки (коэффициент заполненности) как:

$$g(\vec{r_i}) = \int\limits_{\vec{r_i}}^{\vec{r_i} + {\Delta}\vec{r}} 1_{G} (\vec{r}) d\vec{r}, \qquad \qquad (2)$$

То тогда формула (1) по сути есть нулевое приближение формулы (2).
Меня интересуют первое, второе, третье и т.д. приближения интеграла (2).

Спасибо.

[svv]

Если область задана индикаторной функцией, мы можем лишь тестировать отдельные точки на принадлежность области. Вот если бы область задавалась, например, уравнением $F(x,y,z)=0$. Тогда можно было бы в окрестности центра выбранной ячейки аппроксимировать эту функцию линейной и вычислить, какую часть куба или параллелепипеда отсекает плоскость $Ax+By+Cz+D=0$.