Элементарное свойство НОД

[SomePupil]

А именно,

$$gcd(ta, tb) = t\cdot gcd(a, b)$$

для области целостности. Для евклидовых колец это доказать просто: $d|a, d|b,\;d = ua+vb,\;td = uta + vtb.$ Но можно ли это доказать для произвольной области целостности, имея на руках только определение НОД?

Я вот довольно долго бился, но доказательство придумать не смог. Неужто для области целостности указанное свойство неверно?

[Nemiroff]

SomePupil в сообщении #1231198 писал(а):

Неужто для области целостности указанное свойство неверно?

В произвольной области целостности НОД двух элементов может не существовать.

[grizzly]

Nemiroff в сообщении #1231201 писал(а):

В произвольной области целостности НОД двух элементов может не существовать.

А в "GCD domain"? (Вопрос относится к теме, а не к существованию НОД, конечно :)

[SomePupil]

Nemiroff в сообщении #1231201 писал(а):

В произвольной области целостности НОД двух элементов может не существовать.

А если предположить существование?

-- 03.07.2017, 13:56 --

В общем, в первом томе известного трехтомника Кострикина, в гл. 5, параграфе 3, п. 2 дано определение НОД. Доказательство/постулирование их существования я не заметил. Скорее всего, я это профукал. Там же упомянут сабж и еще несколько свойств с комментарием

Цитата:

Проверка их не вызывает никаких трудностей и оставляется читателю.

Несмотря на утверждение автора, проверка вызвала трудности.

И я понял так, что в произвольном целостном кольце свойство не выполняется.

[Nemiroff]

https://math.stackexchange.com/question ... have-a-gcd

Первый ответ почитайте.

grizzly в сообщении #1231210 писал(а):

А в "GCD domain"?

А я не знаю, что это. Судя по названию: должен существовать. :) Или быть единственным.