Задача на поле отношение кольца R[[X]]

[student1138]

Добрый день.
Такая задача: Построить поле отношений $\mathbb{R}((X))$ кольца $R[[X]]$ формальных степенных рядов от $X$ с коэффициентами в поле $\mathbb{R}$. Показать, что каждый элемент поля $\mathbb{R}((X))$ имеет вид мероморфного степенного ряда: $\varphi(X) = a_{-m}X^{-m}+a_{-m+1}X^{-m+1}+...+a_0+a_1X^1+...,$ в котором допускается конечное число отрицательных показателей.

С первой частью вроде бы все понятно: кольцо $R[[X]]$ является целостным, а построение поля отношений для целостных колец было приведено в учебнике. Со второй частью проблема. Я понимаю ее так: для любой дроби $\frac{f}{h} \in \mathbb{R}((X))$ показать, что найдется такая $\frac{g}{1}$, что $\frac{f}{h} = \frac{g}{1}$, причем, $g$ является мероморфным рядом. Если идти этим путем то надо решить уравнение $f = hg$. Оно решается - рекурсивно можно найти коэффициенты ряда $g$, например:
$h_0g_0=f_0 \Rightarrow g_0 = f_0/h_0$
$h_0g_1 + h_1g_0=f_1 \Rightarrow g_1 = h_1g_0/h_0$
и так далее.

Но во-первых этот ряд никакой не мероморфный, во-вторых это возможно только при условии обратимости $h_0$. В общем явно что-то не то. И еще вот что: в определении формальных степенных рядов есть только неотрицательные степени, как тогда понимать отрицательные степени упоминаемые в этой задаче? Это уже не формальный степенной ряд получается?

[Sonic86]

student1138 в сообщении #1230660 писал(а):

Но во-первых этот ряд никакой не мероморфный

Почему?
Давайте возьмем конкретный пример: $\frac{x^2+1}{1-2x}$. Он мероморфный или нет?

[student1138]

Sonic86 в сообщении #1230667 писал(а):

student1138 в сообщении #1230660 писал(а):

Но во-первых этот ряд никакой не мероморфный

Почему?
Давайте возьмем конкретный пример: $\frac{x^2+1}{1-2x}$. Он мероморфный или нет?

Вы правы, даже если в ряде нет отрицательных степеней, то согласно определению он все-равно мероморфный. Однако все-равно остается ограничение, что алгоритм, который я привел, выполним только если $h_0 \ne 0$ и кроме того с помощью него никогда не получатся отрицательные степени $X$. В каком же случае они получаются?

[Xaositect]

Ну, например, что бы Вы стали делать с $\frac{1 - x}{x+x^3}$?

[student1138]

Xaositect в сообщении #1230673 писал(а):

Ну, например, что бы Вы стали делать с $\frac{1 - x}{x+x^3}$?

Множитель при нулевой степени в знаменателе равен нулю, так что мой алгоритм не применим. Можно попробовать домножить знаменатель на $X^{-1}$. Получим тогда $1+X^2$. Уже ближе, но не то. На какой ряд домножить $1+X^2$ чтобы получить $1-x$ не могу придумать.

[Xaositect]

А зачем получать $1 - x$? $1 - x$ в знаменателе не получится.

[student1138]

Xaositect в сообщении #1230688 писал(а):

А зачем получать $1 - x$? $1 - x$ в знаменателе не получится.

Значит я неправильно понял задачу и ход мысли у меня неправильный. Я понял так что найдется какой-то ряд (возможно, с отрицательными степенями), на который можно домножить знаменатель и тогда получится числитель. Подскажите как надо понимать задачу правильно.

[Xaositect]

student1138 в сообщении #1230689 писал(а):

Значит я неправильно понял задачу и ход мысли у меня неправильный. Я понял так что найдется какой-то ряд (возможно, с отрицательными степенями), на который можно домножить знаменатель и тогда получится числитель. Подскажите как надо понимать задачу правильно.

А, это да, извините, я Вас не понял. Ну вот Вы правильно думаете - надо домножить на $x^{-1}$, а потом переходим к уже разобранной ситуации.

[student1138]

Разобрался! Пусть знаменатель у нас обозначается $h$. Тогда, если в $h$ множитель при нулевой степени равен нулю, то находим первую ненулевую степень $m$ и домножаем на $X^{-m}$. В полученном ряду $h'$ у нас теперь ненулевой этот множитель и мы можем применить алгоритм, описанный выше для того чтобы найти ряд $g$ такой, что $f = h'g$. Тогда очевидно что $f = hX^{-m}g = X^{-m}hg$ и является мероморфным рядом. Спасибо Xaositect за грамотный пример!

[student1138]

Я все-таки хочу спросить. Является ли найденный мероморфный ряд формальным степенным рядом? Согласно определению ФСР он им не является поскольку в определении ФСР указаны степени не меньше нулевой: $F(X) = \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nX^n$. Но если это так то тогда непонятно "в каком поле" вообще мы решали задачу. Это не поле $\mathbb{R}((X))$ т.к. по определению в числителях и знаменателях дробей из $\mathbb{R}((X))$ находятся ФСР. Но если найденный нами мероморфный ряд не принадлежит $\mathbb{R}((X))$ то тогда непонятно почему мы вообще можем написать $\frac{f}{h} = g$, где $\frac{f}{h} \in \mathbb{R}((X)), g \notin \mathbb{R}((X))$. Ведь в таком случае равенство это не может выполняться в принципе. А оно выполняется, согласно нашему решению выше. Парадокс!

[student1138]

Поднимаю тему. Прошу прокомментировать предыдущий вопрос.

[Xaositect]

Как я понимаю это утверждение, оно именно о том, что любой элемент $\mathbb R((x))$ может быть записан в виде очень специальной дроби $\frac{f}{x^k}$. А дальше эти дроби можно писать как ряды с отрицательными степенями. По сути, мы устанавливаем изоморфизм между $\mathbb R((x))$ и полем рядов с конечным числом отрицательных степеней.

[student1138]

Ага, значит тут подразумевался изоморфизм