Равенство фигур

[SpiderHulk]

Вопрос такой, являются ли фигуры равными если их нельзя наложить друг на друга поворотом по часовой или против часовой стрелки, а надо "оторвать" от плоскости и положить на плоскость другой стороной

Равна ли фигура 5 всем остальным? Лично я полагаю что да, но нет полной в этом уверенности

[Xaositect]

Равна (в смысле учебника геометрии).
Но тут надо исключить "лишнюю", а не не равную всем остальным.

[Munin]

Равна. Но она отличается тем свойством, которое называется "имеет другую ориентацию".

[Sonic86]

SpiderHulk в сообщении #1230588 писал(а):

являются ли фигуры равными

Следует просто явно привести определение равенства (эквивалентности)
Их как минимум 3:
1. Фигуры равны $\Leftrightarrow$ они равны как множества точек.
2. Фигуры равны $\Leftrightarrow$ существует движение 1-го рода, переводящее одну фигуру во вторую.
3. Фигуры равны $\Leftrightarrow$ существует движение 2-го рода, переводящее одну фигуру во вторую.
Отношений эквивалентности, конечно, м.б. сколько угодно.
Конечно наиболее естественны 1 и 3.

[Munin]

Sonic86 в сообщении #1230678 писал(а):

Следует просто явно привести определение равенства (эквивалентности)

Проблема в том, что в школьной геометрии широко используется "равенство фигур", но ему часто не даётся внятного определения.

В Атанасяне произносится невнятный бред "можно совместить наложением", который и используется чаще всего. Что такое "совместить наложением" - непонятно. Отсюда и неопределённость.

В Погорелове используется грязный педагогический приём. Сначала говорится только о равенстве отрезков, углов и треугольников, и то мимоходом. А потом, глубоко в недрах курса, вводится понятие равенства, как

"Две фигуры называются равными, если они переводятся одна в другую движением."

При этом, движение перед этим определяется как преобразование, сохраняющее расстояния между точками, и для него приводятся примеры: симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, поворот, параллельный перенос (но не скользящая симметрия; и вообще говоря, под определение Погорелова не подходит тождественное преобразование).

В Колмогорове честно и в самом начале курса даётся определение:

"Две фигуры конгруэнтны, если существует отображение одной фигуры на другую, сохраняющее расстояния."

Однако, Колмогоров не даёт внятного определения величины угла, так что, когда он заявляет, что величины конгруэнтных углов равны, то по сути мало что говорит. И самое главное - кто учит по Колмогорову? Никто! Этот учебник оказался слишком сложен, и на практике учителями не используется.

[OlegCh]

Munin в сообщении #1230690 писал(а):

(но не скользящая симметрия; и вообще говоря, под определение Погорелова не подходит тождественное преобразование)

Почему? Почему скользящая симметрия или тождественное преобразование не подходит? Чем Вам так Погорелов не угодил?

[Munin]

Скользящая симметрия подходит, а тождественное - в Погорелове сказано "если каждую точку фигуры сместить каким-либо образом".

Впрочем, это просто неаккуратность. Далее:
- при рассмотрении симметрии относительно точки, он оговаривает, что центр симметрии переходит в себя - в противоречие с определением;
- при рассмотрении симметрии относительно прямой, он оговаривает, что точки прямой переходят в себя;
- при рассмотрении поворота, он вообще не рассматривает центр поворота - как будто преобразование на нём не определено.

Погорелов - хороший учебник, я сам на нём учился. По общему (и моему) мнению, он выше Атанасяна, хотя ниже Колмогорова. Однако это не мешает мне в нём видеть недостатки.