Простейшая теория групп

[xjar1]

Всем привет, начал разбираться в теории групп, наткнулся на следующую элементарную задачу:

Цитата:

Доказать, что группа ${D_3}$ всех преобразований симметрии правильного треугольника изоморфна симметрической группе ${S_3}$

Я рассмотрел следующую биекцию $f:{S_3} \to {D_3}$:
$(1,2) \mapsto {\psi _1}$
$(1,3) \mapsto {\psi _2}$
$(2,3) \mapsto {\psi _3}$
$e \mapsto {\varphi _0} $
$(1,2,3) \mapsto {\varphi _1}$
$(1,3,2) \mapsto {\varphi _2}$
(Думаю обозначения понятны)
И далее проверял для всех $\pi ,\sigma \in {S_3},f(\pi \cdot \sigma ) = f(\pi ) \circ f(\sigma )$
Есть ли более разумное решение?(Не использующее недоказанный материал) Я про то, чтобы без перебора установить изоморфизм. Потому что в группах с большим числом элементов это затруднительно.
Спасибо.

[Xaositect]

Самый простой путь, наверное, такой: пронумеровать вершины треугольника. Тогда любая симметрия треугольника определяет перестановку трех чисел и композиция симметрий соответствует композиции перестановок. А дальше все-таки придется показать, что любая перестановка реализуется симметрией.

[xjar1]

Кстати, поворот треугольника на 120, 240 градусов это тоже симметрия получается?
Если группа называется группой преобразований симметрии правильного треугольника

[Xaositect]

Да, конечно. Симметрия - это движение плоскости, переводящее треугольник в себя.

[SomePupil]

xjar1 в сообщении #1229713 писал(а):

Есть ли более разумное решение?(Не использующее недоказанный материал)

Не использующее $-$ нет. Надо копать дальше, а там будут сведения про представления, теоремы об изоморфизмах, о действиях групп... Вот, с ними можно будет и колдовать, и упрощать.

xjar1 в сообщении #1229720 писал(а):

Кстати, поворот треугольника на 120, 240 градусов это тоже симметрия получается?

Да.

[Munin]

xjar1 в сообщении #1229713 писал(а):

Есть ли более разумное решение?(Не использующее недоказанный материал) Я про то, чтобы без перебора установить изоморфизм. Потому что в группах с большим числом элементов это затруднительно.

Для более больших групп, вроде бы, достаточно ограничиться анализом системы образующих. Образующие (элементы) группы - это такие элементы, что их всевозможными произведениями (в том числе в отрицательных степенях) можно получить все остальные элементы группы.

Например, у $S_3$ образующие $(1,2)$ и $(1,2,3)$ (проверьте!). Этот выбор неединственен. Вообще, образующие в каком-то идейном смысле похожи на базис линейного пространства (но есть и отличия). Обозначим их, скажем, $a=(1,2),\quad b=(1,2,3).$

Теперь изучим соотношения между ними. Обнаруживаем три факта:
1) $a^2=e,$ и это минимальная степень $a,$ дающая $e$ (порядок элемента: $\operatorname{ord}(a)=2$);
2) $\operatorname{ord}(b)=3$;
3) $ab=b^{-1}a.$
Из них возможно вывести все остальные соотношения между элементами (потому что любое выражение можно привести к виду $a^m b^n$ со степенями ниже порядков). Теперь, если вы в любой группе обнаружите два таких элемента, что между ними будет выполняться (1), (2), (3), и они будут образующими, то отсюда будет следовать, что она изоморфна $S_3,$ поскольку между ними можно будет построить явный изоморфизм.

Замечание: вместо (1), (2), (3) можно взять любой другой эквивалентный набор соотношений. Например, для соотношений между разными элементами часто используется коммутатор - элемент $a^{-1}b^{-1}ab$ или $aba^{-1}b^{-1}$ (в разных книгах принимаются разные определения). Соответственно, можно записать
3') $a^{-1}b^{-1}ab=b^{-1}$ или
3'') $aba^{-1}b^{-1}=b.$

Однако для $S_3$ и $D_3$ этот путь вряд ли принесёт экономию.