Треугольник и минимум функций от точки

[Vitalius]

Дан произвольный $\triangle ABC$. Пусть в плоскостью $\triangle ABC$ разположена точка $X$. Если:

$\sigma_{ABC}(X)\equiv AX\ BX+AX\ CX+BX\ CX,$

то найдите минимум этой функций от точки $X$.

[lel0lel]

Локальный минимум расположен в вершине напротив большей стороны треугольника. Пусть это вершина $A$. Если точка $X$ совпадает с $A$, тогда $\sigma=BX CX$. Теперь сместим точку $X$ на бесконечно малый $\vec{\varepsilon}$, записав новое значение $\sigma$ в первом порядке по $\varepsilon$, докажем, что в точке $A$ достигается минимум $\sigma$. Похоже на то, что в этой точке абсолютный минимум.

Если треугольник равносторонний, то существуют четыре точки минимума функции $\sigma$: три вершины и центр треугольника.

[svv]

lel0lel, а куда девается центральный локальный минимум при малом шевелении вершин треугольника? Вряд ли резко исчезает.

[lel0lel]

svv
сейчас попробовал изучить этот вопрос. Поступал так:
рассматриваем равносторонний треугольник и постепенно начинаем "шевелить" одну из его сторон, делая его равнобедренным. Следует ожидать (хотя это бездоказательно), что минимум будет оставаться (покуда не исчезнет совсем) на высоте равнобедренного тр-ка. На эту мысль наталкивает явная симметрия относительно высоты, иначе этому минимуму пришлось бы раздвоиться и отползать в стороны от высоты). Если предположение верно и исследуем только экстремумы на высоте, то функцию $\sigma$ можно записать от одной переменной $x$-расстояние до основания.
Результаты такие: как только мы делаем треугольник хоть немного равнобедренным (увеличивая одну из сторон) центральный минимум начинает "ползти" к вершине (при этом значение в точке минимума увеличивается), навстречу ему "движется" локальный максимум (не уверен безусловный ли он или это результат рассмотрения картины только на высоте), значение в котором уменьшается. Довольно скоро (когда боковые стороны $1$, основание $\approx 1,07$) эти экстремумы встречаются и "аннигилируют". После чего график функции $\sigma$ в зависимости от точки на высоте имеет вид "горки" с пологим участком в центре, спускающейся к вершине равнобедренного треугольника.

[svv]

Интересно. Получается, он очень прихотливый и обычно его нет.
А у Вас есть, ну если не доказательство, то уверенность, что этот центральный минимум не является глобальным и его можно не рассматривать?

lel0lel в сообщении #1238469 писал(а):

навстречу ему "движется" локальный максимум (не уверен безусловный ли он или это результат рассмотрения картины только на высоте)

Если этот максимум безусловный, тогда просто поразительно, как такая несложная вроде бы функция даёт такую сложную картину.

[lel0lel]

Доказательства, конечно, у меня нет, но есть чувство , что центральный минимум появляется только для тр-ков очень близких к равносторонним, при этом значение функции в нем больше или в случае равностороннего тр-ка равно значению функции в "вершинном" минимуме.

Можно привести такое рассуждение: рассмотрим равнобедренный тупоугольный треугольник с углом очень близким к развернутому (почти вырожденный случай), чтобы высота была равной $\varepsilon\to 0$. Можно доказать, что в вершине есть минимум, об этом я писал выше, нужно только быть аккуратным в расчетах с косинусами. Поскольку в доказательстве изучена $\varepsilon$ окрестность, то это доказывает, что на высоте минимума нет.

Функция, конечно, не сложная, но и не самая простая. Из-за корней квадратных такого типа $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ она в вершинах не дифференцируемая.

[grizzly]

lel0lel в сообщении #1238481 писал(а):

Поскольку в доказательстве изучена $\varepsilon$ окрестность, то это доказывает, что на высоте минимума нет.

Разве то $\varepsilon$ не зависит от треугольника? Не могу поверить, что локальный минимум в центре может вот так вот просто взять и исчезнуть :)