Пересечение линейных оболочек

[xjar1]

Здравствуйте, при чтении первого тома Кострикина возник вопрос.

Цитата:

В частности, $S \subset V \Rightarrow \langle S\rangle \subset V$, т.е. линейную оболочку $\langle S\rangle $ можно определить как пересечение всех оболочек, содержащих данное множество $S$ векторов из $${{\Cal R}^n}$:

$$\langle S\rangle = \bigcap\limits_{S \subset V} V $$

Далее идет док-во того, что $\bigcap\limits_{S \subset V} V $ действительно является линейной оболочкой.
Но как мы из $S \subset V \Rightarrow \langle S\rangle \subset V$ получаем

$$\langle S\rangle = \bigcap\limits_{S \subset V} V $$

Почему равенство, а не включение? Мне очевидно только то, что

$$S \subset \bigcap\limits_{S \subset V} V \Rightarrow \langle S\rangle \subset \bigcap\limits_{S \subset V} V $$

Спасибо.

[demolishka]

Оболочка множества $S$ содержит само $S$ и следовательно...

[xjar1]

$$\bigcap\limits_{S \subset V} V = \bigcap\limits_{\langle S\rangle \subset V} V = \langle S\rangle $$

Я правильно понял?

[gefest_md]

xjar1 в сообщении #1228791 писал(а):

Далее идет док-во того, что $\bigcap\limits_{S \subset V} V $ действительно является линейной оболочкой.

Там это следует как-бы из свойства "замкнутости" $\bigcap V$. Чтобы доказать что множество обладающее этим свойством является л.о. надо правильно сформулировать определение оболочки. Стоит дать несколько определений в начале: просто линейная оболочка, линейная оболочка системы $X_1,\,\dots,\,X_k$, линейная оболочка множества $S\subseteq V$.

[demolishka]

Вот у Вас есть включение.

xjar1 в сообщении #1228791 писал(а):

$$\langle S\rangle \subset \bigcap\limits_{S \subset V} V $$

А обратное включение очевидно, поскольку среди тех $V$, для которых $S \subset V$, есть $V=\langle S\rangle$. Я хотел к этому подтолкнуть.