Линия пересечения поверхностей второго порядка

[reptiloid]

Есть ли уравнение линии пересечения произвольных поверхностей второго порядка (как $x(t),y(t),z(t)$)?
Какие-нибудь частные случаи для фигур вращения (круговой цилиндр и круговой конус)?
Желательно чтобы оно было обозримым (не связанным с решением ур-й 4-й степени).

[ИСН]

Чтобы не быть 4-й степени, оно должно быть второй. А оно не будет.

[Xaositect]

По общему случаю есть статья Near-Optimal Parameterization of the Intersection of Quadrics I, II, III, где дается параметризация использующая только квадратные корни.

[Munin]

Xaositect
А есть классификация случаев, когда оно всё-таки квадратное? Я пока могу представить себе только один вариант: когда линия укладывается в плоскость.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1228870 писал(а):

Xaositect
А есть классификация случаев, когда оно всё-таки квадратное? Я пока могу представить себе только один вариант: когда линия укладывается в плоскость.

Вроде это единственный вариант. Степень всегда будет 4, если ее правильно считать (в проективном пространстве, над комплексными числами и с кратностью). Значит, степень 2 будет только в случаях: двукратная коника; или действительная и мнимая коники; или две двукратные прямые; или две действительные и две мнимые прямые. При этом через две скрещивающиеся прямые проходит ровно одна квадрика, так что в случае с прямыми они тоже должны лежать в одной плоскости.

[Munin]

Боюсь, после слова "значит" я уже почти ничего не понял :-)

-- 23.06.2017 18:46:05 --

А, кажется, впилил! Вы рассматриваете классификацию всех поверхностей 4-й степени? Круто.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1228925 писал(а):

А, кажется, впилил! Вы рассматриваете классификацию всех поверхностей 4-й степени? Круто.

Не, не поверхностей, а кривых, и очень грубую классификацию, просто по степеням неприводимых компонент.

[Munin]

Тогда я вообще не понял, откуда такая классификация взялась.

[Xaositect]

Теорема Безу утверждает, что если пересечение неприводимых алгебраических гиперповерхностей $V_1, \dots, V_k$ в $n$-мерном проективном пространстве есть объединение неприводимых компонент $X_1, \dots, X_m$ размерности $n - k$, то $\prod\limit_i \deg V_i = \sum\limits_j m_j \deg X_j$, где $m_j$ - кратность пересечения.
В нашем случае мы говорим про пересечение двух поверхностей степени $2$, которое должно разбиваться на кривые. Тогда сумма степеней этих кривых с учетом кратности должна быть $4$.

Но я туплю, это все не надо. Вы же хотите, чтобы пересечение было кривой степени $2$? Это либо неприводимая коника, либо пара прямых. коника всегда лежит в плоскости, а пара прямых либо лежит в плоскости, либо скрещивается. Я ошибся, через скрещивающиеся прямые можно провести несколько поверхностей второго порядка, так что это другой случай.

[Munin]

Вы меня убили первым абзацем :-) Я понял, что ничего не знаю про теорему Безу. Ну да ладно! Ваш второй абзац я понял :-)

[Sonic86]

Xaositect в сообщении #1228993 писал(а):

Теорема Безу утверждает, что если пересечение неприводимых алгебраических гиперповерхностей $V_1, \dots, V_k$ в $n$-мерном проективном пространстве есть объединение неприводимых компонент $X_1, \dots, X_m$ размерности $n - k$, то $\prod\limit_i \deg V_i = \sum\limits_j m_j \deg X_j$, где $m_j$ - кратность пересечения.

а дайте ссылку плиз!

[Xaositect]

Sonic86 в сообщении #1229128 писал(а):

:shock: а дайте ссылку плиз!

Fulton "Intersection theory", раздел 8.4.