Сходимость последовательности

[arqady]

Послеловательность $\{a_n\}$ положительных чисел удовлетворяет соотношению

$$a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}+a_n}.$$

Докажите, что она сходится.

Если доказать, что она ограничена, то всё получается.
Действительно, пусть $\overline{\lim}a_n=a$ и $\underline{\lim}a_n=b$. Очевидно, $a\geq b$.
Пусть теперь $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}{a_{n_k}}=a$ и $\lim\limits_{m\rightarrow\infty}{a_{n_m}}=b$.
Мы знаем, что $a_{n_k}=\frac{2}{a_{n_k-1}+a_{n_k-2}}$.
Возьмём $\{k_l\}$ так, что $\lim\limits_{l\rightarrow\infty}a_{n_{k_l}-1}=c$ и $\lim\limits_{l\rightarrow\infty}a_{n_{k_l}-2}=d$.
Тогда $a=\frac{2}{c+d}\leq\frac{2}{b+b}$ и мы получаем $ab\leq1$.
Аналогично получаем $b\geq \frac{2}{2a}$ и $ab\geq1$ и всё.
Как быть с ограниченностью?
Спасибо!
П.С. Со сходимостью я наврал! Доказано только $ab=1$.

[Slav-27]

Давайте нарисуем $a_1$, $a_2$, $\frac 1 {a_1}$ и $\frac 1 {a_2}$. Они находятся в каком-то отрезке. $\frac{1}{a_3}$ тоже там будет (потому что это среднее), и $a_3$ -- тоже (потому что тоже среднее). И так далее...

-- 22.06.2017, 19:50 --

(Ваше док-во не проверял.)

[12d3]

arqady в сообщении #1228434 писал(а):

Как быть с ограниченностью?

Можно доказать, что каждый член меньше, чем наибольший из трех предыдущих, от противного.

[DeBill]

Предел, видимо, равен 1. Будем мерить отклонение от предела величиной
$u_n = a_n + \frac{1}{a_n} - 2 $$\geqslant 0$. Имеем:
$u_{n+2} = a_{n+2}+ \frac{1}{a_{n+2}}-2 =\frac{2}{a_n +a_{n+1}}+\frac{1}{2}\cdot (a_{n+1}+a_n) - 2= $
$=\frac{1}{2}\cdot(a_n + \frac{1}{a_n}-2) + \frac{1}{2}\cdot (a_{n+1}+ \frac{1}{a_{n+1}} -2) + (\frac{2}{a_n +a_{n+1}} - \frac{1}{2}(\frac{1}{a_n} +\frac{1}{a_{n+1}})) =$
$=\frac{1}{2}\cdot(u_n + u_{n+1}) - \delta _n$, где $\delta_n = \frac{(a_n-a_{n+1})^2}{2a_na_{n+1}(a_n +a_{n+1})}$.
Значит, $u_{n+2} \leqslant \frac{1}{2}\cdot (u_n +u_{n+1}) ~~~~~~~~~ (1)$

-- 23.06.2017, 01:15 --

Пусть последовательность $v_n$ такова, что $2v_{n+2} = v_n +v_{n+1}$ для всех $n$, причем $u_0\leqslant v_0, u_1\leqslant v_1$. Тогда, по индукции, $u_n\leqslant v_n$ для всех $n$. Но, решая рек. уравнение, находим, что
$v_n=\frac{v_0+2v_1}{3} +\frac{2}{3}(v_0-v_1)(-\frac{1}{2})^n$. Значит, для всех $n$
имеем $u_n \leqslant \frac{v_0+2v_1}{3} +\frac{2}{3}(v_0-v_1)(-\frac{1}{2})^n$

-- 23.06.2017, 01:31 --

Пусть нижний предел последовательности $u_n$ равен $c$, а верхний равен $C$. Тогда, для любого $\varepsilon >0$, при достаточно больших $n$, все $u_n$ будут меньше $C+\varepsilon $, а при некоторых больших $n$, будет $u_n <c+\varepsilon$. Возьмем в качестве начального номера , именно такое (последнее ) $n=:n_0$. Полагая $v_0 =c+\varepsilon, v_1 =C+\varepsilon $ , из оценки выше, получим: $u_{k+n_0}\leqslant .....$. Переходя здесь к пределу, получим
$C\leqslant \frac{c+2C}{3}+ \varepsilon$, так что $C\leqslant c+ 3\varepsilon$. В силу произвольности $\varepsilon$, отсюда получим $c=C$. Значит, $u_n$ - сходится

-- 23.06.2017, 01:46 --

Но тогда, из самой первой цепочки равенств, следует, что $\delta_n \to 0$. Из сходимости $u_n$ следует ограниченность , и отделенность от нуля, последовательности $a_n$ . Следовательно, числители из $\delta_n$, равные $a_n - a_{n+1}$, сходятся к нулю. Пусть предел $u_n$ равен $E\geqslant 0$, тогда предельные точки для $a_n$ - это в точности положительные корни уравнения $ x+ \frac{1}{x} -2 =E$. Поскоку разности соседних членов стремятся к нулю, то отсюда следует сходимость нашей последовательности....УФФ...
Ну, и тогда понятно, куда: к 1.

[arqady]

DeBill, спасибо! Классная задача!
Теперь, если Вы это опубликуете здесь, то получите очки.