2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Биномиальное тождество
Сообщение22.06.2017, 10:28 


05/06/17

87
Придумал задачу.
Помоги медвежонку доказать биномиальное тождество:
$$
\sum\limits_{p=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}(-1)^p C^{2p}_n=2^{\frac{n}{2}}\cos\left(\frac{\pi n}{4}\right).
$$

(Оффтоп)

Придумал два способа доказать: 1-ый -- естественный, но муторный, 2-ой -- противоестественный, но быстрый.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномиальное тождество
Сообщение22.06.2017, 10:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну, суть конечно в $\operatorname{Re} (1 + i)^n$, а уж как это объяснять медвежатам - это другой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномиальное тождество
Сообщение22.06.2017, 14:59 


05/06/17

87
Да, суть в этом
Xaositect в сообщении #1228257 писал(а):
$\operatorname{Re} (1 + i)^n$
.

Любопытно (no не интересно) было бы доказать без помощи формулы Эйлера. Например, использовать интегральное представление для биномиальных коэффициентов:
$$
C_n^k=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos\left( \left(\frac{n}{2}-k\right)t\right)2^n\cos^n(t/2)dt,
$$
которое предварительно доказать, не обращаясь к теореме Коши из ТФКП. Ну и, просуммировать косинусы с помощью "всяких формул умножения"... Конечно, всё это ненужные исхищрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномиальное тождество
Сообщение22.06.2017, 20:36 


26/08/11
2057
Можно, наверное, внимательно присмотреться в формулах

$\dfrac{(-1+1)^n+(-1\pm{-1})^n}{2}$

Но это пока что так...рассуждения вслух.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group