Интеграл с логарифмическими особенностями

[Hermann]

Здравствуйте

Прошу помочь с вычислением интеграла

$$\int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln \frac {1-x}{x} dx$$

методами ТФКП.

Для того, чтобы взять этот интеграл, я рассматриваю вспомогательную функцию

$$ F(z) = \frac{1}{z+a} \ln^2 \frac {1-z}{z}$$

и замечаю, что она распадается на регулярные ветви в области $G$, где $G -$ комплексная плоскость с разрезом по отрезку $[0, 1].$

Ввиду этого я выбираю гантелеобразный контур интегрирования, состоящий из полуокружностей $C_r, C'_r$ с центрами в точках $0, 1$ и отрезков, которые их соединяют. Далее я показываю, что интегралы по $C_r, C'_r$ в пределе $r \rightarrow 0$, а также вычет $F(z)$ в бесконечности равны нулю, и, пользуясь определением комплексного логарифма, в согласии с теоремой о вычетах записываю:

$$ \int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln^2 \frac {1-x}{x} dz + \int \limits_1^0 \frac{1}{x+a} \left( \ln \frac {1-x}{x} - 2 \pi i \right)^2 dz = 2 \pi i \lim \limits_{x \rightarrow -a} \left( \ln \frac {1-x}{x} - \pi i \right)^2.$$

Сравнивая мнимые части, получаю, что

$$\int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln \frac {1-x}{x} dx = \frac{1}{2} \left( \ln^2 \frac{1+a}{a} - \pi^2 \right).$$

В то же время, правильный ответ:

$$\int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln \frac {1-x}{x} dx = \frac{1}{2} \ln^2 \frac{1+a}{a}.$$

Хотелось бы узнать, где я допустил ошибку.

[ex-math]

А почему вычет в бесконечности у Вас равен нулю?

[Hermann]

ex-math, спасибо за указание. Я и правда невнимательно посчитал вычет. На самом деле,

$$ \operatorname{Res} \limits_{z=\infty} F(z) = -c_{-1} = \pi^2, $$

и следовательно,

$$\int \limits_0^1 \frac{1}{x+a} \ln \frac {1-x}{x} dx = \frac{1}{2} \ln^2 \frac{1+a}{a}.$$