Последовательности аналогичные Фибоначчи

[kthxbye]

С целыми, где $a_{n+m+1}=a_{m+1}+a_{m+2}+...+a_{n+m}$, еще не разобрался, зато нашел одну интересную закономерность для "дробных" - суммируем $n$ предыдущих членов и делим их на $n$. Получаются дроби, которые меньше единицы и стремятся к определенной величине. Знаменатель у всех $b_{n}=n^{n-1}$, а числитель получается вот таким образом:

$n=2, a_{3}=2a_{1}+a_{2}$

$n=3, a_{4}=9a_{1}+3a_{2}+a_{3}$

$n=4, a_{5}=64a_{1}+16a_{2}+4a_{3}+a_{4}$
...
$n, a_{n+1}=n^{n-1}a_{1}+n^{n-2}a_{2}+...+na_{n-1}+a_{n}$ [1]

Причем несколько первых членов можно записать проще:

$a_{1}=a_{2}=1$
$a_{3}=n+1$
$a_{4}=(n+1)^2$
...
$a_{n}=(n+1)^{n-2}$
$a_{n+1}=(n+1)^{n-1}$

А вот уже для $a_{n+2} придется вернуться к сумме [1], но уже в таком виде:

$n, a_{n+m+1}=n^{n-1}a_{m+1}+n^{n-2}a_{m+2}+...+na_{n+m-1}+a_{n+m}$

И, наконец, суть найденной закономерности в том, что:

$ \lim\limits_{m\to\infty}^{}\frac{a_{n+m+1}}{b_{n+m+1}}=\frac{2}{n+1}$



Чем это обусловлено?

[Евгений Машеров]

Это надо смотреть "рекуррентные последовательности" или "теория конечных разностей". Там довольно близкая к линейным дифуравнениям теория.

(Оффтоп)

А вообще именно с этим уравнением связана забавная история:
http://sanitareugen.livejournal.com/22287.html

[Sonic86]

kthxbye в сообщении #1227468 писал(а):

нашел одну интересную закономерность для "дробных" - суммируем $n$ предыдущих членов и делим их на $n$.

Во-первых, а зачем Вы дальше полезли расписывать числитель и знаменатель? Это просто ненужный шаг в сторону. Все расписывание можно смело удалить и забыть. Т.е. рассматриваем заново соотношение $x_{n+1}=\frac{x_1+...+x_n}{n}$
Во-вторых, а чему равен 1-й член последовательности? Или Вы задаете первые $m$ членов? И от чего тогда зависит ее предел?
В-третьих, линейная функция последовательности $x_n$ удовлетворяет тому же соотношению.
Наконец, это вообще чистая задача из области матанализа, потрудитесь привести попытки решения опять.
Т.е. интерес здесь представляет только асимптотика. Но это - после уточнения условий задачи.