Полнота пространства

[Amsirions]

Рассмотрим линейное пространство $H$ произвольных функций вещественного переменного, отличных от нуля не более чем в счетном числе точек. Введем скалярное произведение $(x, y) = \sum\limits_{t:x(t)y(t) \neq 0}x(t)\overline{y(t)}$. Доказать, что H -- гильбертово несепарабельное пространство.
===
Пока проблема с тем, чтобы честно доказать его полноту. Приведу определения, которыми я пользуюсь.
Определение полноты: метрическое пространство $H$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность сходится.
Нормированное пространство называется полным, если оно полно относительно метрики порожденной нормой.
Скалярное произведение порождает норму.
====
Понятно, что нужно взять произвольную фундаментальную последовательность и показать, что у нее есть предел, но что-то не пойму как оценку сделать, должно быть очень просто. Намекните, пожалуйста. А потом с несепарабельностью разберусь.

[mihaild]

Возьмите фундаментальную последовательность и посмотрите, что происходит на множестве точек, в которых хотя бы один элемент последовательности ненулевой.
(дальше, когда станет понятно, какая функция должна быть пределом, можно либо руками доказать, что она входит в $H$ и к ней действительно есть сходимость, либо вложить в $H$ например $l_2$ правильным способом)

[Amsirions]

mihaild в сообщении #1227122 писал(а):

Возьмите фундаментальную последовательность и посмотрите, что происходит на множестве точек, в которых хотя бы один элемент последовательности ненулевой.
(дальше, когда станет понятно, какая функция должна быть пределом, можно либо руками доказать, что она входит в $H$ и к ней действительно есть сходимость, либо вложить в $H$ например $l_2$ правильным способом)

Спасибо за ответ!
До этого я вот что делал: Пусть $x_n$ - ф.п. Тогда$||x_n-x_m|| = \sum\limits_{t : (x_n(t)-x_m(t))^2 \neq 0}(x_n-x_m)^2 \to 0$. Предел суммирования тогда переписывается как $t: x_n \neq x_m$. И отсюда, конечно, видно, что если предела нет, то стремления к нулю не будет. А как более строго показать не понимаю. Точнее, наверное, мне не ясно какая функция должна быть пределом.

[mihaild]

Так, я что-то невнимательно прочитал начальный пост. Указанная вами сумма не задает скалярного произведения на $H$ - возьмите любую функцию, равную $1$ на некотором счетном множестве и $0$ вне него, и для нее указанный ряд будет расходиться. Тут явно должно быть еще одно ограничение на функции в $H$.
После того, как его найдете, попробуйте обнаружить в $H$ подпространство, изоморфное $l_2$ и содержащее все $x_i$.

[Amsirions]

mihaild в сообщении #1227188 писал(а):

Так, я что-то невнимательно прочитал начальный пост. Указанная вами сумма не задает скалярного произведения на $H$ - возьмите любую функцию, равную $1$ на некотором счетном множестве и $0$ вне него, и для нее указанный ряд будет расходиться. Тут явно должно быть еще одно ограничение на функции в $H$.
После того, как его найдете, попробуйте обнаружить в $H$ подпространство, изоморфное $l_2$ и содержащее все $x_i$.

Так ведь выше "Рассмотрим линейное пространство $H$ произвольных функций вещественного переменного, отличных от нуля не более чем в счетном числе точек...". Задача 3.17 из сборника Шейпака и др.

[Mikhail_K]

Amsirions в сообщении #1227200 писал(а):

Так ведь выше "Рассмотрим линейное пространство $H$ произвольных функций вещественного переменного, отличных от нуля не более чем в счетном числе точек...".

Так ведь пример mihaild именно таков. Если мы возьмём функцию, равную $1$ на счётном множестве точек и $0$ вне его, чему равно её скалярное произведение на себя (т.е. квадрат нормы)?

[mihaild]

Что интересно - в задачнике и правда такая формулировка, что делает задачу некорректной.

Правильно так: $H$ - пространство функций, отличных от нуля в не более чем счетном числе точек, для которых соответствующий ряд сходится абсолютно.

[ewert]

mihaild в сообщении #1227213 писал(а):

Правильно так: $H$ - пространство функций, отличных от нуля в не более чем счетном числе точек, для которых соответствующий ряд сходится абсолютно.

Да всё равно никуда не годится. Поскольку указанная сумма -- ни разу ни ряд и вообще не имеет смысла. Поскольку (и до тех пор пока) эта сумма ни разу не определена.

Т.е. пока -- не более чем бред.

[mihaild]

Это уже претензии к задачнику (если там не прописаны нужные определения - я не нашел). Либо можно сказать, что на этом этапе изучения уже должно быть "понятно", как правильно определять такие суммы.

ewert в сообщении #1227601 писал(а):

Поскольку указанная сумма -- ни разу ни ряд

А что такое ряд? Отображение $\mathbb{N} \to X$? Тогда $\sum\limits_{n=2}^\infty x_n$ - уже не ряд? (а ряд Лорана - совсем не ряд)

[Dan B-Yallay]

Amsirions в сообщении #1227120 писал(а):

$(x, y) = \sum\limits_{t:x(t)y(t) \neq 0}x(t)\overline{y(t)}$

Ну это и в самом деле не ряд. Какая-нибудь сумма или дикий интеграл ? Mожет быть. Но не ряд.

[mihaild]

Ладно, слово "ряд" использовал я и готов признать, что зря (и в любом случае дальнейшие обсуждения тут только запутают ТС).

А проблема с недоопределенным суммированием по какому-то множеству явно из самого задачника - уже в определении нормы $l_p$ есть $\sum\limits_{k \in \mathbb{Z}}$.

Amsirions, вы понимаете, что значит $\sum\limits_{x \in X} f(x)$ для счетного $X$?

[Amsirions]

Ну, как и обычное суммирование семейства... Занумеруем натуральными элементы X и будем суммировать. Но без каких-то доп условий не ясно почему от "нумерации" ничего не зависит.

[Slav-27]

Amsirions в сообщении #1227994 писал(а):

Но без каких-то доп условий не ясно почему от "нумерации" ничего не зависит.

Если ряд абсолютно сходится, то от перестановки слагаемых сумма не меняется.

А если ряд у "скалярных квадратов" абс. сходится, то и у "склярных произведений" тоже.

Поэтому будем брать только такие (как и предлагал mihaild) -- и обретём смысл!

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1227627 писал(а):

А что такое ряд? Отображение $\mathbb{N} \to X$?

ЩИТО?

[Amsirions]

Ну вот в нормированном пространстве ряд сходится, если посл-ть его частичных сумм сходится. Может быть тут достаточно брать конечные подсемейства и смотреть на сходимость по норме?

[Slav-27]

Конечные подсемейства чего? Конечные подсемейства куда? Конечные подсемейства зачем?..