Определение симметричности на отношении

[dominatorsha]

Вот задача: На множестве хирургов $a,b$ задано отношение $R:\lbrace a,b: a$ не может ассистировать $b \rbrace$
По заданию нужно определить рефлексивность, симметричность и транзитивность.
Это отношение рефлексивное: хирург $a$ не может ассистировать сам себя
Транзитивность не определяется
Симметричность - неизвестно.

Я написал, что симметрично, исходя из определения симметричности, (хирург $a$ не может ассистировать $b$, $b$ не может ассистировать $a$), но преподаватель сказал, что это неправильный ответ. Не могу понять каким оно является.
Антисимметричность не подходит, потому что тогда хирург $a$ не может ассистировать $b$, следовательно $b$ может ассистировать $a$, что не вяжется с определением антисимметричности
Асимметричность тоже не подходит, потому что для любого хирурга $a$ и хирурга $b$ одновременное выполнение этого условия возможно, что не вяжется с определением асимметричности

[grizzly]

dominatorsha в сообщении #1226749 писал(а):

Симметричность - неизвестно.

Во-первых, Преподаватель прав -- никаких симметричных ограничений отношение не содержит. Во-вторых, какое-либо отношение совсем не обязано удовлетворять одному из свойств, относящихся к симметричности; оно вполне может одновременно не быть симметричным, не быть асимметричным, не быть антисимметричным и т.п. В-третьих, Вас, если следовать букве условия, на все эти (а)(анти)симметричности проверять не просят (впрочем, конечно, лучше это сделать).

[Mikhail_K]

dominatorsha в сообщении #1226749 писал(а):

Я написал, что симметрично

Вполне может быть, что $a$ не может ассистировать $b$, но $b$ может ассистировать $a$. Симметричности нет.

[arseniiv]

grizzly в сообщении #1226765 писал(а):

оно вполне может одновременно не быть симметричным, не быть асимметричным, не быть антисимметричным

Асимметричное — это же просто не симметричное. Антисимметричным и симметричным точно не обязано быть, а вот либо асимметричным, либо симметричным — увы.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #1226842 писал(а):

либо асимметричным, либо симметричным

Ой-ой, спасибо. Меня что-то на одной волне понесло.

[provincialka]

Кстати, в той книжке, из которой я впервые узнала все эти определения, "асимметричность" и "не симметричность" различались. Но, кажется, эта терминология устарела/не прижилась.

[popolznev]

arseniiv в сообщении #1226842 писал(а):

grizzly в сообщении #1226765 писал(а):

оно вполне может одновременно не быть симметричным, не быть асимметричным, не быть антисимметричным

Асимметричное — это же просто не симметричное.

Я привык, что асимметричное отношение - то, которое никогда не содержит одновременно пар $(x,y)$ и $(y,x)$ (в частности, из асимметричности сразу следует антирефлексивность).

[Z1X]

popolznev в сообщении #1228765 писал(а):

Я привык, что асимметричное отношение - то, которое никогда не содержит одновременно пар $(x,y)$ и $(y,x)$ (в частности, из асимметричности сразу следует антирефлексивность).

Если с кванторами не дружить, то ко всему можно привыкнуть.

[arseniiv]

popolznev в сообщении #1228765 писал(а):

Я привык, что асимметричное отношение - то, которое никогда не содержит одновременно пар $(x,y)$ и $(y,x)$ (в частности, из асимметричности сразу следует антирефлексивность).

Это как раз антисимметричное, и тут разночтений в текстах, вроде, никогда не было.

-- Сб июн 24, 2017 01:43:39 --

Притом тут в терминологии всё параллельно: антикоммутативность ($a*b = -b*a$, в отличие от некоммутативности, которая просто отсутствие коммутативности), упомянутая вами антирефлексивность…

[popolznev]

arseniiv в сообщении #1229051 писал(а):

popolznev в сообщении #1228765 писал(а):

Я привык, что асимметричное отношение - то, которое никогда не содержит одновременно пар $(x,y)$ и $(y,x)$ (в частности, из асимметричности сразу следует антирефлексивность).

Это как раз антисимметричное…

Антисимметричное обычно определяют иначе: из $(x,y) \in \rho \wedge (y,x) \in \rho$ следует $x=y$. Да, в таком случае оно получается не очень-то "анти-" (это к последнему вашему замечанию), но такова наблюдаемая мной в учебниках реальность. Я сегодня попозже пороюсь в книжках и приведу примеры - где как.

-- 24.06.2017, 10:04 --

Ну вот, для начала: Дж. Андерсон, Дискретная математика и комбинаторика.

Цитата:

Отношение $R$ называется антисимметричным, если для всех $a$ и $b$ из $A$, из принадлежности $(a,b)$ и $(b,a)$ отношению $R$ следует, что $a=b$.

То же самое у Белоусова и Ткачева в "Дискретной математике" (это учебник из бауманской серии "Математичка в техническом университете"):

Цитата:

Бинарное отношение $\rho$ на множестве $A$ называют: (...) антисимметричным, если для любых $x,y\in A$ из одновременной справедливости $x \rho y$ и $y \rho x$ следует, что $x=y$.

Другие примеры потом, сейчас времени нет.

[arseniiv]

А, да-да, я что-то не вчитывался и не подумал даже, что есть смысл выделять ещё одну «градацию». Виноват. Действительно, выходит три специальных случая: симметричность, противоречащая антисимметричности, которая может быть усилена до асимметричности добавлением антирефлексивности. В принципе, можно понять, почему мне не попалась она, раз это просто конъюнкция того и того.

[popolznev]

arseniiv в сообщении #1229144 писал(а):

В принципе, можно понять, почему мне не попалась она, раз это просто конъюнкция того и того.

Если "она" - это (как я понял) асимметричность, которая антисимметричность + антирефлексивность, то да - это понятие редко встречается. Вот в тех двух учебниках, что я процитировал, его нет.

[grizzly]

Добавлю ещё для полноты картины:

англовики про асимметрию писал(а):

Asymmetry is not the same thing as "not symmetric": the less-than-or-equal relation is an example of a relation that is neither symmetric nor asymmetric.

Таким же образом понимает асимметрию и MathWorld. Это вполне авторитетный источник.

[arseniiv]

popolznev в сообщении #1229152 писал(а):

Если "она" - это (как я понял) асимметричность

Да, она.