Максимум функции двух переменных

[stedent076]

Прошу помощи с проверкой.
Найти максимум функции $f(x,y)=\sqrt{-5x^2-13y^2-16xy+2}+y$
1)$\sqrt{-5x^2-13y^2-16xy+2}=\sqrt{2-((2x+3y)^2+(x+2y)^2)}$
2)Заметим следующее: чем больше число под радикалом и переменная $y$ тем больше значение функции $f(x,y)$. Для этого сумма квадратов $(2x+3y)^2+(x+2y)^2$ должна быть минимальной, а $y$ как можно большим.
4) Условие минимальности выражения $(2x+3y)^2+(x+2y)^2$ влечет за собой наличие разных знаков у переменных $x$ и $y$ (причем, $x$ должен быть отрицательным).
5)$(2x+3y)^2+(x+2y)^2\to\min\Rightarrow |2x+3y|+|x+2y| \to\min$. Поэтому $y>0$ и $y=\dfrac{-2x}{3}$
или $y=\dfrac{-x}{2}$.
6) Подставим эти значения $y$ в исходную функцию:
$f(x,y)=\sqrt{2-\dfrac{1}{4}y^2}+y$ или $$f(x,y)=\sqrt{2-y^2}+y$.
7) В первом случае функция растет быстрее, так как число под радикалом убывает медленнее. Находя производную функции и приравнивая ее к нулю, получаем $y_{\max}=2$. Подставляя это значение в выражение $f(x,y)=\sqrt{2-\dfrac{1}{4}y^2}+y$, получаем 3. Ответ: 3
Не знаю, правильно ли такое решение (скорее всего нет). Во всяком случае точно недостаточно обоснованно. Как тут можно доказать максимальность строго?

[dima_1985]

Есть стандартный алгоритм нахождения экстремум таких функций через частные производные, Вы его знаете? Решим систему

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}&=&0 \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}&=& 0\\ \end{array} \right.$$

.Найдем $x_0$ и $y_0$. А потом проверим их $A=f''_{xx}(x_0,y_0),B=f''_{xy}(x_0,y_0),C=f''_{yy}(x_0,y_0)$.Если $AC-B^2>0$ это максимум.

[svv]

dima_1985 прав, надо использовать стандартный способ. Он включает исследование поведения функции на границе области.

Я понимаю, что остаётся вопрос: «Да, я знаю (или не знаю) этот способ. А всё-таки, правильно ли моё решение, и если нет, то в чём ошибка?»

stedent076 в сообщении #1226715 писал(а):

2)Заметим следующее: чем больше число под радикалом и переменная $y$ тем больше значение функции $f(x,y)$. Для этого сумма квадратов $(2x+3y)^2+(x+2y)^2$ должна быть минимальной, а $y$ как можно большим.

Проблема в том, что это противоречивые требования: если погнаться за минимальной суммой квадратов, получим $y=0$. Если увеличить $y$,
не будет минимальной сумма квадратов. Очень трудно найти золотую середину из таких соображений.

stedent076 в сообщении #1226715 писал(а):

причем, $x$ должен быть отрицательным

Это вряд ли. Легко видеть, что значение суммы квадратов не изменится, если поменять знаки у $x$ и $y$ одновременно.

stedent076 в сообщении #1226715 писал(а):

5) $(2x+3y)^2+(x+2y)^2\to\min\Rightarrow |2x+3y|+|x+2y| \to\min$. Поэтому $y>0$ и $y=\dfrac{-2x}{3}$ или $y=\dfrac{-x}{2}$.

Тут всё неправильно. Значение первого квадрата минимально при $y=-\frac{2x}{3}$, второго при $y=-\frac{x}{2}$, но сумма минимальна при $x=y=0$. Отсюда правильное «соотношение» между $x$ и $y$ вывести нельзя.

Ещё одна ошибка — то, что Вы применяете связь между $x$ и $y$, найденную из анализа подкоренного выражения, ко всей функции. Но наличие $+y$ может привести к тому, что координаты точки экстремума уже не будут удовлетворять этой связи.

[stedent076]

dima_1985
svv
Спасибо, конечно, за ответы, но можно это решить в рамках школьной программы?

[svv]

Для этого надо представить функцию в виде
$f(x,y)=\sqrt{2-\frac 1 5 (5x+8y)^2-\frac {y^2} 5}+y$
Пусть при некоторых $x, y$ функция определена (подкоренное выражение неотрицательно), и $5x+8y\neq 0$. Если, не меняя $y$, изменить значение $x$ так, чтобы стало $5x+8y=0$, подкоренное выражение будет по-прежнему неотрицательно, а значение функции увеличится. Следовательно, в максимуме $5x+8y=0$. Остаётся исследовать функцию одной переменной $\sqrt{2-\frac {y^2} 5}+y$.

[stedent076]

svv
Спасибо большое за помощь