Существование решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона

[Asalex]

Какие есть теоремы существования решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области?
Для слабого решения ответ даётся в обобщенной теореме Стеклова.
А что можно сказать о классическом решении?

[Gafield]

Уравнение Пуассона, я так понимаю, это уравнение Лапласа с правой частью? Для ограниченной области $Q$ с достаточно гладкой границей теорем полно. Например, в пространствах Гельдера. См. книгу Гилбарг, Трудингер "Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка". Есть теоремы и для не очень гладких областей, в частности, для многогранников. С другой стороны, есть теория решений в пространствах Соболева. Если решение приналежит $W_l^p(Q)$ с достаточно большим $l$, а граница области опять же достаточно регулярна, то из теорем вложения будет вытекать, что решение классическое. При каких условиях это верно, можно извлечь из той же книжки.

[V.V.]

А я бы учебник Михайлова порекомендовал. И немного, и понятно, и качественные выводы хорошо формулируются.

[venja]

V.V. писал(а):

А я бы учебник Михайлова порекомендовал. И немного, и понятно, и качественные выводы хорошо формулируются.

Согласен, хорошая книжка.
Еще мне по матфизике нравятся учебники Михлина С.Г.
Когда-то я с ним даже переписывался (недолго) по одной из задач о классических операторах теории гармонического потенциала. Замечательный ученый и педагог.